MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem 25409
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1 1 = (0g𝐺)
dchrmusum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrmusum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrmusum.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrmusum.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦, 1   𝐶,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑥,𝑎,𝑦   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑎,𝐿,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrvmasumlem
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 dchrmusum.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 dchrmusum.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 dchrmusum.1 . . . . . . . 8 1 = (0g𝐺)
7 dchrmusum.b . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
8 dchrmusum.n1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋1 )
9 dchrmusum.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
10 dchrmusum.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
11 dchrmusum.t . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
12 dchrmusum.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dchrisumn0 25407 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ≠ 0)
1413adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ≠ 0)
15 ifnefalse 4240 . . . . . 6 (𝑇 ≠ 0 → if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0) = 0)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0) = 0)
1716oveq2d 6827 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + 0))
18 fzfid 12964 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
197ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
20 elfzelz 12533 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2120adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
224, 1, 5, 2, 19, 21dchrzrhcl 25167 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
23 elfznn 12561 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2423adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
25 vmacl 25041 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
26 nndivre 11246 . . . . . . . . . 10 (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2725, 26mpancom 706 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2824, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2928recnd 10258 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
3022, 29mulcld 10250 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
3118, 30fsumcl 14661 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
3231addid1d 10426 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
3317, 32eqtrd 2792 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
3433mpteq2dva 4894 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dchrvmasumif 25389 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
3634, 35eqeltrrd 2838 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  ifcif 4228   class class class wbr 4802  cmpt 4879  cfv 6047  (class class class)co 6811  cr 10125  0cc0 10126  1c1 10127   + caddc 10129   · cmul 10131  +∞cpnf 10261  cle 10265  cmin 10456   / cdiv 10874  cn 11210  cz 11567  +crp 12023  [,)cico 12368  ...cfz 12517  cfl 12783  seqcseq 12993  abscabs 14171  cli 14412  𝑂(1)co1 14414  Σcsu 14613  Basecbs 16057  0gc0g 16300  ℤRHomczrh 20048  ℤ/nczn 20051  logclog 24498  Λcvma 25015  DChrcdchr 25154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-disj 4771  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-rpss 7100  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-tpos 7519  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-omul 7732  df-er 7909  df-ec 7911  df-qs 7915  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-acn 8956  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-xnn0 11554  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ioc 12371  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-mod 12861  df-seq 12994  df-exp 13053  df-fac 13253  df-bc 13282  df-hash 13310  df-word 13483  df-concat 13485  df-s1 13486  df-shft 14004  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-limsup 14399  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-o1 14418  df-lo1 14419  df-sum 14614  df-ef 14995  df-e 14996  df-sin 14997  df-cos 14998  df-pi 15000  df-dvds 15181  df-gcd 15417  df-prm 15586  df-numer 15643  df-denom 15644  df-phi 15671  df-pc 15742  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-qus 16369  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-mulg 17740  df-subg 17790  df-nsg 17791  df-eqg 17792  df-ghm 17857  df-gim 17900  df-ga 17921  df-cntz 17948  df-oppg 17974  df-od 18146  df-gex 18147  df-pgp 18148  df-lsm 18249  df-pj1 18250  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-cyg 18478  df-dprd 18592  df-dpj 18593  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-invr 18870  df-dvr 18881  df-rnghom 18915  df-drng 18949  df-subrg 18978  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-lsp 19172  df-sra 19372  df-rgmod 19373  df-lidl 19374  df-rsp 19375  df-2idl 19432  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-zring 20019  df-zrh 20052  df-zn 20055  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-lp 21140  df-perf 21141  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-haus 21319  df-cmp 21390  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-cncf 22880  df-0p 23634  df-limc 23827  df-dv 23828  df-ply 24141  df-idp 24142  df-coe 24143  df-dgr 24144  df-quot 24243  df-log 24500  df-cxp 24501  df-em 24916  df-cht 25020  df-vma 25021  df-chp 25022  df-ppi 25023  df-mu 25024  df-dchr 25155
This theorem is referenced by:  dchrvmasum  25411
  Copyright terms: Public domain W3C validator