Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrsum 25214
 Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character 𝑋 is 0 if 𝑋 is non-principal and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrsum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrsum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrsum.1 1 = (0g𝐺)
dchrsum.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrsum.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
Assertion
Ref Expression
dchrsum (𝜑 → Σ𝑎𝐵 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
Distinct variable groups:   1 ,𝑎   𝐵,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑍,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchrsum
StepHypRef Expression
1 dchrsum.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑍)
2 eqid 2770 . . . . 5 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
31, 2unitss 18867 . . . 4 (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵)
5 dchrsum.g . . . . 5 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6 dchrsum.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7 dchrsum.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐺)
8 dchrsum.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
95, 6, 7, 1, 8dchrf 25187 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐵⟶ℂ)
103sseli 3746 . . . 4 (𝑎 ∈ (Unit‘𝑍) → 𝑎𝐵)
11 ffvelrn 6500 . . . 4 ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎𝐵) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
129, 10, 11syl2an 575 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)) → (𝑋𝑎) ∈ ℂ)
13 eldif 3731 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ (Unit‘𝑍)) ↔ (𝑎𝐵 ∧ ¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
148adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋𝐷)
15 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝐵)
165, 6, 7, 1, 2, 14, 15dchrn0 25195 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋𝑎) ≠ 0 ↔ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
1716biimpd 219 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋𝑎) ≠ 0 → 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)))
1817necon1bd 2960 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍) → (𝑋𝑎) = 0))
1918impr 442 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵 ∧ ¬ 𝑎 ∈ (Unit‘𝑍))) → (𝑋𝑎) = 0)
2013, 19sylan2b 573 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐵 ∖ (Unit‘𝑍))) → (𝑋𝑎) = 0)
215, 7dchrrcl 25185 . . . 4 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
226, 1znfi 20122 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
238, 21, 223syl 18 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
244, 12, 20, 23fsumss 14663 . 2 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋𝑎) = Σ𝑎𝐵 (𝑋𝑎))
25 dchrsum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
265, 6, 7, 25, 8, 2dchrsum2 25213 . 2 (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
2724, 26eqtr3d 2806 1 (𝜑 → Σ𝑎𝐵 (𝑋𝑎) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3718   ⊆ wss 3721  ifcif 4223  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  Fincfn 8108  ℂcc 10135  0cc0 10137  ℕcn 11221  Σcsu 14623  ϕcphi 15675  Basecbs 16063  0gc0g 16307  Unitcui 18846  ℤ/nℤczn 20065  DChrcdchr 25177 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-ec 7897  df-qs 7901  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-phi 15677  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-0g 16309  df-imas 16375  df-qus 16376  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-nsg 17799  df-eqg 17800  df-ghm 17865  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-rnghom 18924  df-subrg 18987  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-lidl 19388  df-rsp 19389  df-2idl 19446  df-cnfld 19961  df-zring 20033  df-zrh 20066  df-zn 20069  df-dchr 25178 This theorem is referenced by:  dchrhash  25216  dchr2sum  25218  dchrisumlem1  25398
 Copyright terms: Public domain W3C validator