MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrn0 25195
Description: A Dirichlet character is nonzero on the units of ℤ/n. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrn0.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrn0.a (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
dchrn0 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑈))

Proof of Theorem dchrn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑋𝑥) = (𝑋𝐴))
21neeq1d 2991 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋𝐴) ≠ 0))
3 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑈𝐴𝑈))
42, 3imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈) ↔ ((𝑋𝐴) ≠ 0 → 𝐴𝑈)))
5 dchrn0.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐷)
6 dchrmhm.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
7 dchrmhm.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8 dchrn0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑍)
9 dchrn0.u . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑍)
10 dchrmhm.b . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
116, 10dchrrcl 25185 . . . . . . . 8 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
125, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
136, 7, 8, 9, 12, 10dchrelbas2 25182 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))))
145, 13mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈)))
1514simprd 482 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥𝑈))
16 dchrn0.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
174, 15, 16rspcdva 3455 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 → 𝐴𝑈))
1817imp 444 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0) → 𝐴𝑈)
19 ax-1ne0 10217 . . . . 5 1 ≠ 0
2019a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑈) → 1 ≠ 0)
2112nnnn0d 11563 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
227zncrng 20115 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
23 crngring 18778 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
25 eqid 2760 . . . . . . . 8 (invr𝑍) = (invr𝑍)
26 eqid 2760 . . . . . . . 8 (.r𝑍) = (.r𝑍)
27 eqid 2760 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (1r𝑍)
289, 25, 26, 27unitrinv 18898 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴)) = (1r𝑍))
2924, 28sylan 489 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴)) = (1r𝑍))
3029fveq2d 6357 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴))) = (𝑋‘(1r𝑍)))
3114simpld 477 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
3231adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
3316adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → 𝐴𝐵)
349, 25, 8ringinvcl 18896 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → ((invr𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵)
3524, 34sylan 489 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → ((invr𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵)
36 eqid 2760 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
3736, 8mgpbas 18715 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
3836, 26mgpplusg 18713 . . . . . . 7 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
39 eqid 2760 . . . . . . . 8 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
40 cnfldmul 19974 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
4139, 40mgpplusg 18713 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
4237, 38, 41mhmlin 17563 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐴𝐵 ∧ ((invr𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴))) = ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))))
4332, 33, 35, 42syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐴))) = ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))))
4436, 27ringidval 18723 . . . . . . 7 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
45 cnfld1 19993 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
4639, 45ringidval 18723 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
4744, 46mhm0 17564 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
4832, 47syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
4930, 43, 483eqtr3d 2802 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑈) → ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) = 1)
50 cnfldbas 19972 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
5139, 50mgpbas 18715 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
5237, 51mhmf 17561 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
5332, 52syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑈) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
5453, 35ffvelrnd 6524 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴)) ∈ ℂ)
5554mul02d 10446 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑈) → (0 · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) = 0)
5620, 49, 553netr4d 3009 . . 3 ((𝜑𝐴𝑈) → ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) ≠ (0 · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))))
57 oveq1 6821 . . . 4 ((𝑋𝐴) = 0 → ((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) = (0 · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))))
5857necon3i 2964 . . 3 (((𝑋𝐴) · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) ≠ (0 · (𝑋‘((invr𝑍)‘𝐴))) → (𝑋𝐴) ≠ 0)
5956, 58syl 17 . 2 ((𝜑𝐴𝑈) → (𝑋𝐴) ≠ 0)
6018, 59impbida 913 1 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153  cn 11232  0cn0 11504  Basecbs 16079  .rcmulr 16164   MndHom cmhm 17554  mulGrpcmgp 18709  1rcur 18721  Ringcrg 18767  CRingccrg 18768  Unitcui 18859  invrcinvr 18891  fldccnfld 19968  ℤ/nczn 20073  DChrcdchr 25177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-ec 7915  df-qs 7919  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-0g 16324  df-imas 16390  df-qus 16391  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-nsg 17813  df-eqg 17814  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-lidl 19396  df-rsp 19397  df-2idl 19454  df-cnfld 19969  df-zring 20041  df-zn 20077  df-dchr 25178
This theorem is referenced by:  dchrinvcl  25198  dchrfi  25200  dchrghm  25201  dchreq  25203  dchrabs  25205  dchrabs2  25207  dchr1re  25208  dchrpt  25212  dchrsum  25214  sum2dchr  25219  rpvmasumlem  25396  dchrisum0flblem1  25417
  Copyright terms: Public domain W3C validator