MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmusumlem 25432
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1 1 = (0g𝐺)
dchrmusum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrmusum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrmusum.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrmusum.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlem (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦, 1   𝐶,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑥,𝑎,𝑦   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑎,𝐿,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrmusumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 12980 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 dchrmusum.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 dchrmusum.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
6 dchrmusum.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐷)
76ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
8 elfzelz 12549 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
98adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 25191 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
11 elfznn 12577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
1211adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
13 mucl 25088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
1514zred 11684 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
1615, 12nndivred 11271 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
1716recnd 10270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
1810, 17mulcld 10262 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
191, 18fsumcl 14672 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
20 dchrmusum.t . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
21 climcl 14438 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇𝑇 ∈ ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2322adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℂ)
2419, 23mulcld 10262 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) ∈ ℂ)
25 rpvmasum.a . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
26 dchrmusum.1 . . . . . . 7 1 = (0g𝐺)
27 dchrmusum.n1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋1 )
28 dchrmusum.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
29 dchrmusum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
30 dchrmusum.2 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
313, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrisumn0 25431 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ≠ 0)
3231adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ≠ 0)
3324, 23, 32divrecd 11006 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) / 𝑇) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) · (1 / 𝑇)))
3419, 23, 32divcan4d 11009 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) / 𝑇) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)))
3533, 34eqtr3d 2807 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) · (1 / 𝑇)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)))
3635mpteq2dva 4878 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) · (1 / 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))))
3722, 31reccld 10996 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝑇) ∈ ℂ)
3837adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑇) ∈ ℂ)
393, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrmusum2 25404 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
40 rpssre 12046 . . . 4 + ⊆ ℝ
41 o1const 14558 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (1 / 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
4240, 37, 41sylancr 575 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
4324, 38, 39, 42o1mul2 14563 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛)) · 𝑇) · (1 / 𝑇))) ∈ 𝑂(1))
4436, 43eqeltrrd 2851 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((μ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wss 3723   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  +∞cpnf 10273  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  cn 11222  cz 11579  +crp 12035  [,)cico 12382  ...cfz 12533  cfl 12799  seqcseq 13008  abscabs 14182  cli 14423  𝑂(1)co1 14425  Σcsu 14624  Basecbs 16064  0gc0g 16308  ℤRHomczrh 20063  ℤ/nczn 20066  μcmu 25042  DChrcdchr 25178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-rpss 7084  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-o1 14429  df-lo1 14430  df-sum 14625  df-ef 15004  df-e 15005  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-numer 15650  df-denom 15651  df-phi 15678  df-pc 15749  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-qus 16377  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-nsg 17800  df-eqg 17801  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-ga 17930  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-od 18155  df-gex 18156  df-pgp 18157  df-lsm 18258  df-pj1 18259  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-cyg 18487  df-dprd 18602  df-dpj 18603  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-rnghom 18925  df-drng 18959  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-lidl 19389  df-rsp 19390  df-2idl 19447  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zrh 20067  df-zn 20070  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-0p 23657  df-limc 23850  df-dv 23851  df-ply 24164  df-idp 24165  df-coe 24166  df-dgr 24167  df-quot 24266  df-log 24524  df-cxp 24525  df-em 24940  df-cht 25044  df-vma 25045  df-chp 25046  df-ppi 25047  df-mu 25048  df-dchr 25179
This theorem is referenced by:  dchrmusum  25434
  Copyright terms: Public domain W3C validator