MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmusum2 25403
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded, provided that 𝑇 ≠ 0. Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisumn0.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrisumn0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisumn0.t (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrisumn0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrmusum2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 1   𝑥,𝑑,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑑,𝑥   𝑇,𝑑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrmusum2
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 12056 . . . 4 + ⊆ ℝ
2 ax-1cn 10206 . . . 4 1 ∈ ℂ
3 o1const 14569 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
41, 2, 3mp2an 710 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
62a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
7 fzfid 12986 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8 rpvmasum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
9 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10 rpvmasum.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
11 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
12 dchrisum.b . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
1312ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
14 elfzelz 12555 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℤ)
1514adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℤ)
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 25190 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
17 elfznn 12583 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
1817adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
19 mucl 25087 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
2019zred 11694 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
21 nndivre 11268 . . . . . . . . 9 (((μ‘𝑑) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
2220, 21mpancom 706 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
2318, 22syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
2423recnd 10280 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
2516, 24mulcld 10272 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
267, 25fsumcl 14683 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
27 dchrisumn0.t . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
28 climcl 14449 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇𝑇 ∈ ℂ)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3029adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℂ)
3126, 30mulcld 10272 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇) ∈ ℂ)
321a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
33 subcl 10492 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇) ∈ ℂ) → (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ ℂ)
342, 31, 33sylancr 698 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ ℂ)
35 1red 10267 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
36 dchrisumn0.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
37 elrege0 12491 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
3836, 37sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
3938simpld 477 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
40 fzfid 12986 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
4125adantlrr 759 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
42 nnuz 11936 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
43 1zzd 11620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4412adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
45 nnz 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
478, 9, 10, 11, 44, 46dchrzrhcl 25190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
48 nncn 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
50 nnne0 11265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
5247, 49, 51divcld 11013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
53 dchrisumn0.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
54 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑚 → (𝐿𝑎) = (𝐿𝑚))
5554fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
5755, 56oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
5857cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
5953, 58eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
6052, 59fmptd 6549 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
6160ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
6242, 43, 61serf 13043 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
6362ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
64 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6564rpred 12085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
66 nndivre 11268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
6765, 17, 66syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
6817adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
6968nncnd 11248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℂ)
7069mulid2d 10270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) = 𝑑)
71 fznnfl 12875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
7265, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
7372simplbda 655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑𝑥)
7470, 73eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) ≤ 𝑥)
75 1red 10267 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
7665adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7768nnrpd 12083 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
7875, 76, 77lemuldivd 12134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 · 𝑑) ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
7974, 78mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))
80 flge1nn 12836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (⌊‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℕ)
8167, 79, 80syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (⌊‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℕ)
8263, 81ffvelrnd 6524 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) ∈ ℂ)
8341, 82mulcld 10272 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) ∈ ℂ)
8429ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
8541, 84mulcld 10272 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇) ∈ ℂ)
8640, 83, 85fsumsub 14739 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)))
8741, 82, 84subdid 10698 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) = ((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)))
8887sumeq2dv 14652 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)))
8912ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑋𝐷)
9014ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
91 elfzelz 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
9291adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
938, 9, 10, 11, 89, 90, 92dchrzrhmul 25191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))))
9493oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
9516adantlrr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
9769adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑑 ∈ ℂ)
988, 9, 10, 11, 89, 92dchrzrhcl 25190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
99 elfznn 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
101100nncnd 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
10268nnne0d 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ≠ 0)
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑑 ≠ 0)
104100nnne0d 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → 𝑚 ≠ 0)
10596, 97, 98, 101, 103, 104divmuldivd 11054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · (𝑋‘(𝐿𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
10694, 105eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
107106oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
10868, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
109108zcnd 11695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
110109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
11196, 97, 103divcld 11013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) ∈ ℂ)
11298, 101, 104divcld 11013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
113110, 111, 112mulassd 10275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = ((μ‘𝑑) · (((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
114110, 96, 97, 103div12d 11049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑)) = ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)))
115114oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑑)) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
116107, 113, 1153eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
117116sumeq2dv 14652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
118 fzfid 12986 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) ∈ Fin)
119 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝜑)
120119, 99, 52syl2an 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
121118, 41, 120fsummulc2 14735 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
122 ovex 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ V
12357, 53, 122fvmpt 6445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
124100, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
12581, 42syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (⌊‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ (ℤ‘1))
126124, 125, 120fsumser 14680 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))))
127126oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))))
128117, 121, 1273eqtr2rd 2801 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))))
129128sumeq2dv 14652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))))
130 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝐿𝑛) = (𝐿‘(𝑑 · 𝑚)))
131130fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))))
132 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → 𝑛 = (𝑑 · 𝑚))
133131, 132oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚)))
134133oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑑 · 𝑚) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))))
135 elrabi 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} → 𝑑 ∈ ℕ)
136135ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → 𝑑 ∈ ℕ)
137136, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
138137zcnd 11695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
13912ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
140 elfzelz 12555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
141140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
1428, 9, 10, 11, 139, 141dchrzrhcl 25190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
14317ssriv 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ ℕ
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ ℕ)
145144sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
146145nncnd 11248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℂ)
147145nnne0d 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ≠ 0)
148142, 146, 147divcld 11013 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) ∈ ℂ)
149148adantrr 755 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) ∈ ℂ)
150138, 149mulcld 10272 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) ∈ ℂ)
151134, 65, 150dvdsflsumcom 25134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿‘(𝑑 · 𝑚))) / (𝑑 · 𝑚))))
152 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝐿𝑛) = (𝐿‘1))
153152fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘1)))
154 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
155153, 154oveq12d 6832 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
156 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
157 flge1nn 12836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
15865, 156, 157syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
159158, 42syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1))
160 eluzfz1 12561 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
162155, 40, 144, 161, 148musumsum 25138 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((μ‘𝑑) · ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
163129, 151, 1623eqtr2d 2800 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) = ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1))
1648, 9, 10, 11, 12dchrzrh1 25189 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)
165164adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = 1)
166165oveq1d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = (1 / 1))
167 1div1e1 10929 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
168166, 167syl6eq 2810 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑋‘(𝐿‘1)) / 1) = 1)
169163, 168eqtr2d 2795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))))
17029adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑇 ∈ ℂ)
17140, 170, 41fsummulc1 14736 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇))
172169, 171oveq12d 6832 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑)))) − Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)))
17386, 88, 1723eqtr4rd 2805 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)))
174173fveq2d 6357 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇))) = (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))))
17582, 84subcld 10604 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇) ∈ ℂ)
17641, 175mulcld 10272 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ∈ ℂ)
17740, 176fsumcl 14683 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ∈ ℂ)
178177abscld 14394 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ∈ ℝ)
179176abscld 14394 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ∈ ℝ)
18040, 179fsumrecl 14684 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ∈ ℝ)
18139adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝐶 ∈ ℝ)
18240, 176fsumabs 14752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))))
183 reflcl 12811 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
18465, 183syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
185184, 181remulcld 10282 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((⌊‘𝑥) · 𝐶) ∈ ℝ)
186185, 64rerpdivcld 12116 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) ∈ ℝ)
187181, 64rerpdivcld 12116 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝐶 / 𝑥) ∈ ℝ)
188187adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / 𝑥) ∈ ℝ)
18941abscld 14394 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) ∈ ℝ)
19068nnrecred 11278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
191175abscld 14394 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ∈ ℝ)
19277rpred 12085 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ)
193188, 192remulcld 10282 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑) ∈ ℝ)
19441absge0d 14402 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))))
195175absge0d 14402 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)))
19695abscld 14394 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) ∈ ℝ)
19724adantlrr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
198197abscld 14394 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℝ)
19995absge0d 14402 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))))
200197absge0d 14402 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)))
201 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
20212ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
203 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
204203nnnn0d 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2059, 201, 11znzrhfo 20118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
206 fof 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
207204, 205, 2063syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
208207adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
209 ffvelrn 6521 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝐿𝑑) ∈ (Base‘𝑍))
210208, 14, 209syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑑) ∈ (Base‘𝑍))
2118, 10, 9, 201, 202, 210dchrabs2 25207 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) ≤ 1)
212109, 69, 102absdivd 14413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / (abs‘𝑑)))
21377rprege0d 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑))
214 absid 14255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑) → (abs‘𝑑) = 𝑑)
215213, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘𝑑) = 𝑑)
216215oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑑)) / (abs‘𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑))
217212, 216eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑))
218109abscld 14394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑑)) ∈ ℝ)
219 mule1 25094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝑑)) ≤ 1)
22068, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑑)) ≤ 1)
221218, 75, 77, 220lediv1dd 12143 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑) ≤ (1 / 𝑑))
222217, 221eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) ≤ (1 / 𝑑))
223196, 75, 198, 190, 199, 200, 211, 222lemul12ad 11178 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 · (1 / 𝑑)))
22495, 197absmuld 14412 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))))
225190recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
226225mulid2d 10270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · (1 / 𝑑)) = (1 / 𝑑))
227226eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) = (1 · (1 / 𝑑)))
228223, 224, 2273brtr4d 4836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 / 𝑑))
229 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → (⌊‘𝑦) = (⌊‘(𝑥 / 𝑑)))
230229fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))))
231230oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))
232231fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)))
233 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐶 / 𝑦) = (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)))
234232, 233breq12d 4817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 / 𝑑) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / (𝑥 / 𝑑))))
235 dchrisumn0.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
236235ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
237 1re 10251 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
238 elicopnf 12482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ → ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))))
239237, 238ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
24067, 79, 239sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)+∞))
241234, 236, 240rspcdva 3455 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)))
242181recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝐶 ∈ ℂ)
243242adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℂ)
244 rpcnne0 12063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
245244ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
246245adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
247 divdiv2 10949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0)) → (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)) = ((𝐶 · 𝑑) / 𝑥))
248243, 246, 69, 102, 247syl112anc 1481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)) = ((𝐶 · 𝑑) / 𝑥))
249 div23 10916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝑑) / 𝑥) = ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑))
250243, 69, 246, 249syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 · 𝑑) / 𝑥) = ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑))
251248, 250eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / (𝑥 / 𝑑)) = ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑))
252241, 251breqtrd 4830 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇)) ≤ ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑))
253189, 190, 191, 193, 194, 195, 228, 252lemul12ad 11178 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) · (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ ((1 / 𝑑) · ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑)))
25441, 175absmuld 14412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) = ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) · (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))))
255187recnd 10280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝐶 / 𝑥) ∈ ℂ)
256255adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / 𝑥) ∈ ℂ)
257256, 69, 102divcan4d 11019 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝐶 / 𝑥) · 𝑑) / 𝑑) = (𝐶 / 𝑥))
258256, 69mulcld 10272 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑) ∈ ℂ)
259258, 69, 102divrec2d 11017 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝐶 / 𝑥) · 𝑑) / 𝑑) = ((1 / 𝑑) · ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑)))
260257, 259eqtr3d 2796 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 / 𝑥) = ((1 / 𝑑) · ((𝐶 / 𝑥) · 𝑑)))
261253, 254, 2603brtr4d 4836 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ (𝐶 / 𝑥))
26240, 179, 188, 261fsumle 14750 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 / 𝑥))
263158nnnn0d 11563 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
264 hashfz1 13348 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
266265oveq1d 6829 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (𝐶 / 𝑥)) = ((⌊‘𝑥) · (𝐶 / 𝑥)))
267 fsumconst 14741 . . . . . . . . . 10 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ (𝐶 / 𝑥) ∈ ℂ) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (𝐶 / 𝑥)))
26840, 255, 267syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (𝐶 / 𝑥)))
269158nncnd 11248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℂ)
270 divass 10915 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) · (𝐶 / 𝑥)))
271269, 242, 245, 270syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) · (𝐶 / 𝑥)))
272266, 268, 2713eqtr4d 2804 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 / 𝑥) = (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥))
273262, 272breqtrd 4830 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥))
27438adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
275 flle 12814 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
27665, 275syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
277 lemul1a 11089 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥) → ((⌊‘𝑥) · 𝐶) ≤ (𝑥 · 𝐶))
278184, 65, 274, 276, 277syl31anc 1480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((⌊‘𝑥) · 𝐶) ≤ (𝑥 · 𝐶))
279185, 181, 64ledivmuld 12138 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) ≤ 𝐶 ↔ ((⌊‘𝑥) · 𝐶) ≤ (𝑥 · 𝐶)))
280278, 279mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) · 𝐶) / 𝑥) ≤ 𝐶)
281180, 186, 181, 273, 280letrd 10406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ 𝐶)
282178, 180, 181, 182, 281letrd 10406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘(𝑥 / 𝑑))) − 𝑇))) ≤ 𝐶)
283174, 282eqbrtrd 4826 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇))) ≤ 𝐶)
28432, 34, 35, 39, 283elo1d 14486 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 − (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇))) ∈ 𝑂(1))
2856, 31, 284o1dif 14579 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ 𝑂(1)))
2865, 285mpbid 222 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · 𝑇)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  {crab 3054  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  wf 6045  ontowfo 6047  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  +∞cpnf 10283  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  +crp 12045  [,)cico 12390  ...cfz 12539  cfl 12805  seqcseq 13015  chash 13331  abscabs 14193  cli 14434  𝑂(1)co1 14436  Σcsu 14635  cdvds 15202  Basecbs 16079  0gc0g 16322  ℤRHomczrh 20070  ℤ/nczn 20073  μcmu 25041  DChrcdchr 25177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-ec 7915  df-qs 7919  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-o1 14440  df-lo1 14441  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-pc 15764  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-qus 16391  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-nsg 17813  df-eqg 17814  df-ghm 17879  df-cntz 17970  df-od 18168  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-rnghom 18937  df-drng 18971  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-lidl 19396  df-rsp 19397  df-2idl 19454  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-zring 20041  df-zrh 20074  df-zn 20077  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524  df-mu 25047  df-dchr 25178
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  25411  dchrmusumlem  25431
  Copyright terms: Public domain W3C validator