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Theorem dchrisumlem3 25225
 Description: Lemma for dchrisum 25226. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem3 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝑥,𝑐,𝑡   1 ,𝑐   𝑡,𝑛, 1 ,𝑥   𝑢,𝑐,𝐹,𝑛,𝑡,𝑥   𝐴,𝑐,𝑡,𝑥   𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥   𝜑,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥   𝑅,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥   𝐵,𝑐,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐿,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥   𝑀,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥   𝑋,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑡)   𝐷(𝑢)   𝑅(𝑡)   1 (𝑢)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑡,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑡)   𝑍(𝑢,𝑡,𝑐)

Proof of Theorem dchrisumlem3
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 𝑗 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11761 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11446 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
4 rpvmasum.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 rpvmasum.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 rpvmasum.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8 dchrisum.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝐷)
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
103nnzd 11519 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
114, 5, 6, 7, 9, 10dchrzrhcl 25015 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) ∈ ℂ)
12 dchrisum.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
1312ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
14 nnrp 11880 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ+)
15 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
1615nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
17 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
1817eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
1916, 18rspc 3334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
2019impcom 445 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
2113, 14, 20syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
2221recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
2311, 22mulcld 10098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
24 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑛𝑖
25 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑋‘(𝐿𝑖))
26 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑛 ·
2725, 26, 15nfov 6716 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)
28 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑖 → (𝐿𝑛) = (𝐿𝑖))
2928fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
3029, 17oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
31 dchrisum.7 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
3224, 27, 30, 31fvmptf 6340 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
333, 23, 32syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
3433, 23eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
351, 2, 34serf 12869 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
3635ffvelrnda 6399 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
3712recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3837ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℂ)
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℂ)
40 id 22 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+)
41 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
42 dchrisum.9 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
43 remulcl 10059 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
4441, 42, 43sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
45 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
46 lbfzo0 12547 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
4745, 46sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
48 dchrisum.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
49 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = (0..^0))
50 fzo0 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0..^0) = ∅
5149, 50syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = ∅)
5251sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)))
53 sum0 14496 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0
5452, 53syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
5554abs00bd 14075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 0 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = 0)
5655breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 0 → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
5756rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
5847, 48, 57sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
59 0le2 11149 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
60 mulge0 10584 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
6141, 59, 60mpanl12 718 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
6242, 58, 61syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
6344, 62ge0p1rpd 11940 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ+)
64 rpdivcl 11894 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ+) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ+)
6540, 63, 64syl2anr 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ+)
66 dchrisum.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
6766adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
6839, 65, 67rlimi 14288 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
69 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
70 dchrisum.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7170nnred 11073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
7369, 72ifcld 4164 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
74 0red 10079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
7570nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑀)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 0 < 𝑀)
77 max1 12054 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
7871, 77sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
7974, 72, 73, 76, 78ltletrd 10235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 0 < if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
8073, 79elrpd 11907 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+)
8180adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+)
82 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)
83 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛abs
84 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴
85 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛
86 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛0
8784, 85, 86nfov 6716 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)
8883, 87nffv 6236 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0))
89 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 <
90 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
9188, 89, 90nfbr 4732 . . . . . . . . . . 11 𝑛(abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
9282, 91nfim 1865 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))
93 breq2 4689 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝑚𝑛𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))
94 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → 𝐴 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
9594oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝐴 − 0) = (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0))
9695fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)))
9796breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
9893, 97imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) ↔ (𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
9992, 98rspc 3334 . . . . . . . . 9 (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
10081, 99syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
10171ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
102 max2 12056 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
103101, 102sylancom 702 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
10413ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
10584nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
10694eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
107105, 106rspc 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
10881, 104, 107sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
109108recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
110109subid1d 10419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0) = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
111110fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) = (abs‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
11273adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
113101, 77sylancom 702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
114 elicopnf 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℝ → (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
115101, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
116112, 113, 115mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞))
11745ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
118 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (0g𝐺)
1198ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋𝐷)
120 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋1 )
121120ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋1 )
122 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
12370ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
124104r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
125 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝜑)
126 dchrisum.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
127125, 126syl3an1 1399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
12866ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
1295, 7, 117, 4, 6, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 127, 128, 31dchrisumlema 25222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)))
130129simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
131116, 130mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
132108, 131absidd 14205 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
133111, 132eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
134133breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
135 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
136135ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑒 ∈ ℝ)
13763ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ+)
138108, 136, 137ltmuldiv2d 11958 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
139134, 138bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
14044ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
141137rpred 11910 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ)
142140lep1d 10993 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ≤ ((2 · 𝑅) + 1))
143140, 141, 108, 131, 142lemul1ad 11001 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
144140, 108remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
145141, 108remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
146 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
147144, 145, 136, 146syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
148143, 147mpand 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒 → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
149139, 148sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
150 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
15170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
152151nnge1d 11101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ 𝑀)
153150, 72, 73, 152, 78letrd 10232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
154 flge1nn 12662 . . . . . . . . . . . . 13 ((if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
15573, 153, 154syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
156155adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
15745ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1588ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋𝐷)
159120ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋1 )
16070ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
16112adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
162161adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
1631263adant1r 1359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
1641633adant1r 1359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
16566ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
16642ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
16748ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
16880adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+)
16978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
17073adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
171 fllep1 12642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
173155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
174 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
1755, 7, 157, 4, 6, 118, 158, 159, 122, 160, 162, 164, 165, 31, 166, 167, 168, 169, 172, 173, 174dchrisumlem2 25224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
176175adantllr 755 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
17735ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
178 eluznn 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
179156, 178sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
180177, 179ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
181156adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
182177, 181ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))) ∈ ℂ)
183180, 182subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∈ ℂ)
184183abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ)
185144adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
186136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑒 ∈ ℝ)
187 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
188184, 185, 186, 187syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
189176, 188mpand 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
190189ralrimdva 2998 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒 → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
191 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
192 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
193192oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))))
194193fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))))
195194breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
196191, 195raleqbidv 3182 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
197196rspcev 3340 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
198156, 190, 197syl6an 567 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
199149, 198syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
200103, 199embantd 59 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
201100, 200syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
202201rexlimdva 3060 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
20368, 202mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
204203ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
205 seqex 12843 . . . . 5 seq1( + , 𝐹) ∈ V
206205a1i 11 . . . 4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
2071, 36, 204, 206caucvg 14453 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
208205eldm 5353 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
209207, 208sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
210 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
211 elrege0 12316 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((2 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑅)))
21244, 62, 211sylanbrc 699 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
213212adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
214 eqid 2651 . . . . . . . 8 (ℤ‘(⌊‘𝑚)) = (ℤ‘(⌊‘𝑚))
215 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
216 icossre 12292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
21771, 215, 216sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
218217sselda 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
219218adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
220219flcld 12639 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℤ)
221 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
22235ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
223 1red 10093 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
22471ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22570ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℕ)
226225nnge1d 11101 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑀)
227 elicopnf 12307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑚)))
22871, 227syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑚)))
229228simplbda 653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑚)
230229adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑚)
231223, 224, 219, 226, 230letrd 10232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑚)
232 flge1nn 12662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
233219, 231, 232syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
234222, 233ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
235 nnex 11064 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ∈ V
236235mptex 6527 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
237236a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V)
238222adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
239 eluznn 11796 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘𝑚) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
240233, 239sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
241238, 240ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑖) ∈ ℂ)
242 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))
243242oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
244 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
245 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) ∈ V
246243, 244, 245fvmpt3i 6326 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
247240, 246syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
248214, 220, 221, 234, 237, 241, 247climsubc2 14413 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ⇝ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡))
249235mptex 6527 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V
250249a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V)
251 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ V
252251fvconst2 6510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
253240, 252syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
254253oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
255247, 254eqtr4d 2688 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
256234adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
257253, 256eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) ∈ ℂ)
258257, 241subcld 10430 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
259255, 258eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
260243fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
261 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))
262 fvex 6239 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
263260, 261, 262fvmpt3i 6326 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
264240, 263syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
265247fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
266264, 265eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)))
267214, 248, 250, 220, 259, 266climabs 14378 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ⇝ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)))
26844ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
269 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
27071adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
27175adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑀)
272269, 270, 218, 271, 229ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑚)
273218, 272elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
274 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
275274nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
276 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
277276eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
278275, 277rspc 3334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
27913, 278mpan9 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
280273, 279syldan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
281280adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
282268, 281remulcld 10108 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
283282recnd 10106 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
284 1z 11445 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
2851eqimss2i 3693 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
286285, 235climconst2 14323 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
287283, 284, 286sylancl 695 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
288256, 241subcld 10430 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
289288abscld 14219 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) ∈ ℝ)
290264, 289eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ∈ ℝ)
291 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V
292291fvconst2 6510 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
293240, 292syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
294282adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
295293, 294eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)})‘𝑖) ∈ ℝ)
296 simplll 813 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝜑)
297296, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
298296, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋𝐷)
299296, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋1 )
300225adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀 ∈ ℕ)
301296, 12sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
302296, 126syl3an1 1399 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
303296, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
304296, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑅 ∈ ℝ)
305296, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
306273adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
307306adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
308230adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀𝑚)
309219adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ)
310 reflcl 12637 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℝ → (⌊‘𝑚) ∈ ℝ)
311 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑚) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
312309, 310, 3113syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
313 flltp1 12641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
314309, 313syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
315309, 312, 314ltled 10223 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
316233adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
317 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚)))
3185, 7, 297, 4, 6, 118, 298, 299, 122, 300, 301, 302, 303, 31, 304, 305, 307, 308, 315, 316, 317dchrisumlem2 25224 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
319256, 241abssubd 14236 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
320264, 319eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
321318, 320, 2933brtr4d 4717 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ≤ ((ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)})‘𝑖))
322214, 220, 267, 287, 290, 295, 321climle 14414 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
323322ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
324 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (2 · 𝑅) → (𝑐 · 𝐵) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
325324breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (2 · 𝑅) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
326325ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
327 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑥 → (⌊‘𝑚) = (⌊‘𝑥))
328327fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
329328oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑥 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡))
330329fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
331 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚 ∈ V
332331a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑥𝑚 ∈ V)
333 equequ2 1999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑥 → (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑥))
334333biimpa 500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 = 𝑥𝑛 = 𝑚) → 𝑛 = 𝑥)
335334, 122syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 𝑥𝑛 = 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
336332, 335csbied 3593 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑥𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
337336oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑥 → ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
338330, 337breq12d 4698 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
339338cbvralv 3201 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵))
340326, 339syl6bbr 278 . . . . . . 7 (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)))
341340rspcev 3340 . . . . . 6 (((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
342213, 323, 341syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
343 r19.42v 3121 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
344210, 342, 343sylanbrc 699 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
345344ex 449 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
346345eximdv 1886 . 2 (𝜑 → (∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
347209, 346mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231  ⦋csb 3566   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870  [,)cico 12215  ..^cfzo 12504  ⌊cfl 12631  seqcseq 12841  abscabs 14018   ⇝ cli 14259   ⇝𝑟 crli 14260  Σcsu 14460  Basecbs 15904  0gc0g 16147  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nℤczn 19899  DChrcdchr 25002 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-phi 15518  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-imas 16215  df-qus 16216  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-dchr 25003 This theorem is referenced by:  dchrisum  25226
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