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Theorem dchrisumlem1 25398
Description: Lemma for dchrisum 25401. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem1 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝑥   1 ,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑢,𝑥   𝑥,𝐴   𝑛,𝑁,𝑢,𝑥   𝜑,𝑛,𝑢,𝑥   𝑅,𝑛,𝑢,𝑥   𝑈,𝑛,𝑢,𝑥   𝐵,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥   𝑛,𝐿,𝑢,𝑥   𝑛,𝑀,𝑢,𝑥   𝑛,𝑋,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐷(𝑢)   1 (𝑢)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑛)   𝑍(𝑢)

Proof of Theorem dchrisumlem1
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzodisj 12716 . . . . . 6 ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∩ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)) = ∅)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11563 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
54adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 nn0re 11513 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℝ)
76adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ ℝ)
83adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
97, 8nndivred 11281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ)
108nnrpd 12083 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
11 nn0ge0 11530 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑈)
1211adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑈)
137, 10, 12divge0d 12125 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑈 / 𝑁))
14 flge0nn0 12835 . . . . . . . . 9 (((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑈 / 𝑁)) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
159, 13, 14syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
165, 15nn0mulcld 11568 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0)
17 flle 12814 . . . . . . . . 9 ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
189, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁))
19 reflcl 12811 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
209, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℝ)
2120, 7, 10lemuldiv2d 12135 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈 ↔ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ≤ (𝑈 / 𝑁)))
2218, 21mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)
23 fznn0 12645 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℕ0 → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
2423adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) ↔ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ≤ 𝑈)))
2516, 22, 24mpbir2and 995 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈))
26 fzosplit 12715 . . . . . 6 ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ (0...𝑈) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^𝑈) = ((0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))) ∪ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)))
28 fzofi 12987 . . . . . 6 (0..^𝑈) ∈ Fin
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^𝑈) ∈ Fin)
30 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
31 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
33 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
34 dchrisum.b . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐷)
3534ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑋𝐷)
36 elfzoelz 12684 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑈) → 𝑛 ∈ ℤ)
3736adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → 𝑛 ∈ ℤ)
3830, 31, 32, 33, 35, 37dchrzrhcl 25190 . . . . 5 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑈)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
392, 27, 29, 38fsumsplit 14690 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
40 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
4140oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 0)))
4241sumeq1d 14650 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4342eqeq1d 2762 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
4443imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
45 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 𝑚))
4645oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · 𝑚)))
4746sumeq1d 14650 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4847eqeq1d 2762 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
4948imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
50 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (𝑚 + 1)))
5150oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))))
5251sumeq1d 14650 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑚 + 1) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
5352eqeq1d 2762 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
5453imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
55 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
5655oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (0..^(𝑁 · 𝑘)) = (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
5756sumeq1d 14650 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
5857eqeq1d 2762 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
5958imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑘 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) ↔ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
603nncnd 11248 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6160mul01d 10447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
6261oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = (0..^0))
63 fzo0 12706 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
6462, 63syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(𝑁 · 0)) = ∅)
6564sumeq1d 14650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)))
66 sum0 14671 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0
6765, 66syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 0))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
68 oveq1 6821 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
69 fzodisj 12716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∩ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) = ∅)
71 nn0re 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
7271adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
7372lep1d 11167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
74 peano2re 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
763adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
7776nnred 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7876nngt0d 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
79 lemul2 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
8072, 75, 77, 78, 79syl112anc 1481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ≤ (𝑚 + 1) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
8173, 80mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1)))
82 nn0mulcl 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ0)
834, 82sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℕ0)
84 nn0uz 11935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
8583, 84syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ‘0))
86 nn0p1nn 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
87 nnmulcl 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
883, 86, 87syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
8988nnzd 11693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ)
90 elfz5 12547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 · 𝑚) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑁 · (𝑚 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
9185, 89, 90syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) ↔ (𝑁 · 𝑚) ≤ (𝑁 · (𝑚 + 1))))
9281, 91mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))))
93 fzosplit 12715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 · 𝑚) ∈ (0...(𝑁 · (𝑚 + 1))) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((0..^(𝑁 · 𝑚)) ∪ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))))
95 fzofi 12987 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) ∈ Fin)
9734ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑋𝐷)
98 elfzoelz 12684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
9998adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
10030, 31, 32, 33, 97, 99dchrzrhcl 25190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
10170, 94, 96, 100fsumsplit 14690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
10276nncnd 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
10372recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
104 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
105102, 103, 104adddid 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)))
106102mulid1d 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
107106oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + (𝑁 · 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
108105, 107eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (𝑚 + 1)) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
109108oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1))) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
110109sumeq1d 14650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
111 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))
112111oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁)))
113112sumeq1d 14650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
114 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑁 → (0..^𝑘) = (0..^𝑁))
115114sumeq1d 14650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
116113, 115eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
11783nn0zd 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
118117adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
119 nn0z 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
120 zaddcl 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
121117, 119, 120syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ)
122 peano2zm 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
12434ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑋𝐷)
125 elfzelz 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
126125adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
12730, 31, 32, 33, 124, 126dchrzrhcl 25190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
128 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) → (𝐿𝑛) = (𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))))
129128fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
130118, 118, 123, 127, 129fsumshftm 14732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
131 fzoval 12685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
132121, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1)))
133132sumeq1d 14650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)...(((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
134119adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
135 fzoval 12685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^𝑘) = (0...(𝑘 − 1)))
137118zcnd 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
138137subidd 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚)) = 0)
139121zcnd 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) ∈ ℂ)
140 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
141139, 140, 137sub32d 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1))
142 nn0cn 11514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
143142adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
144137, 143pncan2d 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) = 𝑘)
145144oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − (𝑁 · 𝑚)) − 1) = (𝑘 − 1))
146141, 145eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)) = (𝑘 − 1))
147138, 146oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))) = (0...(𝑘 − 1)))
148136, 147eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^𝑘) = (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚))))
149148sumeq1d 14650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (((𝑁 · 𝑚) − (𝑁 · 𝑚))...((((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) − 1) − (𝑁 · 𝑚)))(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
150130, 133, 1493eqtr4d 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))))
1513nnzd 11693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
152 nn0z 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℤ)
153 dvdsmul1 15225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
154151, 152, 153syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
155154ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
156 elfzoelz 12684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ)
157156adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ)
158157zcnd 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑖 ∈ ℂ)
159137adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
160158, 159pncan2d 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖) = (𝑁 · 𝑚))
161155, 160breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖))
16276nnnn0d 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
163162ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
164 zaddcl 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
165156, 118, 164syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ)
16631, 33zndvds 20120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
167163, 165, 157, 166syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → ((𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑖 + (𝑁 · 𝑚)) − 𝑖)))
168161, 167mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚))) = (𝐿𝑖))
169168fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑘)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
170169sumeq2dv 14652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑖)))
171 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑛 → (𝐿𝑖) = (𝐿𝑛))
172171fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑖)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
173172cbvsumv 14645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))
174170, 173syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿‘(𝑖 + (𝑁 · 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
175150, 174eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
176175ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
177116, 176, 162rspcdva 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
178 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝐿𝑛) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
1793nnne0d 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ≠ 0)
180 ifnefalse 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
182 fzofi 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^𝑁) ∈ Fin
183181, 182syl6eqel 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ∈ Fin)
184 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
18533reseq1i 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑍) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
186 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
18731, 184, 185, 186znf1o 20122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
1884, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→(Base‘𝑍))
189 fvres 6369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿𝑛))
190189adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) → ((𝐿 ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))‘𝑛) = (𝐿𝑛))
19130, 31, 32, 184, 34dchrf 25187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
192191ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
193178, 183, 188, 190, 192fsumf1o 14673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
194 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (0g𝐺)
19530, 31, 32, 194, 34, 184dchrsum 25214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0))
196 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋1 )
197 ifnefalse 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋1 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
198196, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑋 = 1 , (ϕ‘𝑁), 0) = 0)
199195, 198eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑘) = 0)
200181sumeq1d 14650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ if (𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
201193, 199, 2003eqtr3rd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
202201adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
203110, 177, 2023eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
204203oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + 0))
205 00id 10423 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 0) = 0
206204, 205syl6req 2811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 0 = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
207101, 206eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))))
20868, 207syl5ibr 236 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
209208expcom 450 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
210209a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · 𝑚))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0) → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (𝑚 + 1)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)))
21144, 49, 54, 59, 67, 210nn0ind 11684 . . . . . . 7 ((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0 → (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0))
212211impcom 445 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
21315, 212syldan 488 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
214 modval 12884 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
2157, 10, 214syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) = (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))))
216215oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))))
21716nn0cnd 11565 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) ∈ ℂ)
218 nn0cn 11514 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℂ)
219218adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ ℂ)
220217, 219pncan3d 10607 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 − (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))) = 𝑈)
221216, 220eqtr2d 2795 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → 𝑈 = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
222221oveq2d 6830 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
223222sumeq1d 14650 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
224 nn0z 11612 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℤ)
225 zmodcl 12904 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
226224, 3, 225syl2anr 496 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
227176ralrimiva 3104 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
228227adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
229 oveq2 6822 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (𝑁 · 𝑚) = (𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))
230229oveq1d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))
231229, 230oveq12d 6832 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)))
232231sumeq1d 14650 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
233232eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (𝑚 = (⌊‘(𝑈 / 𝑁)) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
234 oveq2 6822 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))
235234oveq2d 6830 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘)) = ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁))))
236235sumeq1d 14650 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
237 oveq2 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑘) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
238237sumeq1d 14650 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
239236, 238eqeq12d 2775 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑈 mod 𝑁) → (Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
240233, 239rspc2va 3462 . . . . . . 7 ((((⌊‘(𝑈 / 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑈 mod 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · 𝑚)..^((𝑁 · 𝑚) + 𝑘))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑘)(𝑋‘(𝐿𝑛))) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
24115, 226, 228, 240syl21anc 1476 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))) + (𝑈 mod 𝑁)))(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
242223, 241eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
243213, 242oveq12d 6832 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁))))(𝑋‘(𝐿𝑛)) + Σ𝑛 ∈ ((𝑁 · (⌊‘(𝑈 / 𝑁)))..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
244 fzofi 12987 . . . . . . 7 (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin
245244a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑈 mod 𝑁)) ∈ Fin)
24634ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑋𝐷)
247 elfzoelz 12684 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
248247adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24930, 31, 32, 33, 246, 248dchrzrhcl 25190 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
250245, 249fsumcl 14683 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
251250addid2d 10449 . . . 4 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (0 + Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
25239, 243, 2513eqtrd 2798 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
253252fveq2d 6357 . 2 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
254 oveq2 6822 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (0..^𝑢) = (0..^(𝑈 mod 𝑁)))
255254sumeq1d 14650 . . . . 5 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛)))
256255fveq2d 6357 . . . 4 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))))
257256breq1d 4814 . . 3 (𝑢 = (𝑈 mod 𝑁) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅))
258 dchrisum.10 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
259258adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
260 zmodfzo 12907 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
261224, 3, 260syl2anr 496 . . 3 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
262257, 259, 261rspcdva 3455 . 2 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^(𝑈 mod 𝑁))(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
263253, 262eqbrtrd 4826 1 ((𝜑𝑈 ∈ ℕ0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑈)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  cun 3713  cin 3714  c0 4058  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cres 5268  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  +crp 12045  ...cfz 12539  ..^cfzo 12679  cfl 12805   mod cmo 12882  abscabs 14193  𝑟 crli 14435  Σcsu 14635  cdvds 15202  ϕcphi 15691  Basecbs 16079  0gc0g 16322  ℤRHomczrh 20070  ℤ/nczn 20073  DChrcdchr 25177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-ec 7915  df-qs 7919  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-phi 15693  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-0g 16324  df-imas 16390  df-qus 16391  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-nsg 17813  df-eqg 17814  df-ghm 17879  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-rnghom 18937  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-lidl 19396  df-rsp 19397  df-2idl 19454  df-cnfld 19969  df-zring 20041  df-zrh 20074  df-zn 20077  df-dchr 25178
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