MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0re 25247
Description: Suppose 𝑋 is a non-principal Dirichlet character with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Then 𝑋 is a real character. Part of Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0re (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝑚,𝐿,𝑦   𝑚,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦,𝑚)   𝑊(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem dchrisum0re
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑓 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum2.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 rpvmasum.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 rpvmasum2.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 rpvmasum2.w . . . . . . 7 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
6 ssrab2 3720 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
75, 6eqsstri 3668 . . . . . 6 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
8 dchrisum0.b . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑊)
97, 8sseldi 3634 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
109eldifad 3619 . . . 4 (𝜑𝑋𝐷)
111, 2, 3, 4, 10dchrf 25012 . . 3 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
1211ffnd 6084 . 2 (𝜑𝑋 Fn (Base‘𝑍))
1311ffvelrnda 6399 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
14 fvco3 6314 . . . . . 6 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
1511, 14sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
16 logno1 24427 . . . . . . . 8 ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
17 1red 10093 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → 1 ∈ ℝ)
18 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
19 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
20 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0g𝐺)
21 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
2219nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
232zncrng 19941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
25 crngring 18604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
27 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑍) = (1r𝑍)
2821, 271unit 18704 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ (Unit‘𝑍))
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ (Unit‘𝑍))
30 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 “ {(1r𝑍)}) = (𝐿 “ {(1r𝑍)})
31 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑊) → (1r𝑍) = (1r𝑍))
322, 18, 19, 1, 3, 20, 5, 21, 29, 30, 31rpvmasum2 25246 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
3419phicld 15524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
3534nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
38 fzfid 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
39 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
40 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ∈ Fin)
4138, 39, 40sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ∈ Fin)
42 elinel1 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
43 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
4542, 44sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 𝑛 ∈ ℕ)
46 vmacl 24889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
47 nndivre 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
4846, 47mpancom 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
4945, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
5041, 49fsumrecl 14509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
5137, 50remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
52 relogcl 24367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
54 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
551, 3dchrfi 25025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
5619, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
57 difss 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
587, 57sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑊𝐷
59 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
6056, 58, 59sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
61 hashcl 13185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Fin → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
6362nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
64 resubcl 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
6554, 63, 64sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
6753, 66remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) ∈ ℝ)
6851, 67resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℝ)
6968recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℂ)
7069adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℂ)
7152adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
7271recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
7352ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
7467ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) ∈ ℝ)
7573, 74readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℝ)
76 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ∈ ℝ)
7751ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
78 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 2 ∈ ℝ)
8063ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
8179, 80resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
82 log1 24377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (log‘1) = 0
83 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
84 1rp 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ+
85 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
86 logleb 24394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
8784, 85, 86sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
8883, 87mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
8982, 88syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
90 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋)
91 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (invg𝐺) = (invg𝐺)
921, 3, 10, 91dchrinv 25031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))
931dchrabl 25024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
9419, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
95 ablgrp 18244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
973, 91grpinvcl 17514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐷)
9896, 10, 97syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐷)
9992, 98eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
100 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋1 )
1019, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑋1 )
1023, 20grpidcl 17497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐺 ∈ Grp → 1𝐷)
10396, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑1𝐷)
1043, 91, 96, 10, 103grpinv11 17531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (((invg𝐺)‘𝑋) = ((invg𝐺)‘ 1 ) ↔ 𝑋 = 1 ))
105104necon3bid 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (((invg𝐺)‘𝑋) ≠ ((invg𝐺)‘ 1 ) ↔ 𝑋1 ))
106101, 105mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑋) ≠ ((invg𝐺)‘ 1 ))
10720, 91grpinvid 17523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 1 ) = 1 )
10896, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((invg𝐺)‘ 1 ) = 1 )
109106, 92, 1083netr3d 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ≠ 1 )
110 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 1 ))
11199, 109, 110sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
112 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℕ = (ℤ‘1)
113 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
114 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 𝑚 → (𝐿𝑛) = (𝐿𝑚))
115114fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
116 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑚)
117115, 116oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
118117fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑚 → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
119 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))
120 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ V
121118, 119, 120fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
122121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
123 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
124123adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
125124cjred 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘𝑚) = 𝑚)
126125oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (∗‘𝑚)) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / 𝑚))
12711adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
1282, 4, 18znzrhfo 19944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
12922, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
130 fof 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
132 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
133 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
134131, 132, 133syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
135127, 134ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
136 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
137136adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
138 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
139138adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
140135, 137, 139cjdivd 14007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (∗‘𝑚)))
141 fvco3 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) = (∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))))
142127, 134, 141syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) = (∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))))
143142oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / 𝑚))
144126, 140, 1433eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
145122, 144eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
146135cjcld 13980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℂ)
147146, 137, 139divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / 𝑚) ∈ ℂ)
148143, 147eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
149 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
1502, 18, 19, 1, 3, 20, 10, 101, 149dchrmusumlema 25227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
151 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
1528adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋𝑊)
15319adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
15410adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋𝐷)
155101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋1 )
156 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
157 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
1582, 18, 153, 1, 3, 20, 154, 155, 149, 156, 151, 157, 5dchrvmaeq0 25238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑋𝑊𝑡 = 0))
159152, 158mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑡 = 0)
160151, 159breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0)
161160rexlimdvaa 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0))
162161exlimdv 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0))
163150, 162mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0)
164 seqex 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ∈ V
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ∈ V)
166 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 = 𝑚 → (𝐿𝑎) = (𝐿𝑚))
167166fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
168 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
169167, 168oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
170 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ V
171169, 149, 170fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
172171adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
173135, 137, 139divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
174172, 173eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) ∈ ℂ)
175112, 113, 174serf 12869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))):ℕ⟶ℂ)
176175ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘) ∈ ℂ)
177 fzfid 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1...𝑘) ∈ Fin)
178 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝜑)
179 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ (1...𝑘) → 𝑚 ∈ ℕ)
180178, 179, 173syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
181177, 180fsumcj 14586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∗‘Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
182178, 179, 172syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
183 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
184183, 112syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
185182, 184, 180fsumser 14505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘))
186185fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∗‘Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (∗‘(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘)))
187178, 179, 122syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
188173cjcld 13980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
189178, 179, 188syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
190187, 184, 189fsumser 14505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))))‘𝑘))
191181, 186, 1903eqtr3rd 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))))‘𝑘) = (∗‘(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘)))
192112, 163, 165, 113, 176, 191climcj 14379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ⇝ (∗‘0))
193 cj0 13942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∗‘0) = 0
194192, 193syl6breq 4726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ⇝ 0)
195112, 113, 145, 148, 194isumclim 14532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0)
196 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → (𝑦‘(𝐿𝑚)) = ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)))
197196oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
198197sumeq2sdv 14479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
199198eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
200199, 5elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊 ↔ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
201111, 195, 200sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊)
202201ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊)
2038ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑋𝑊)
204 hashprg 13220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊𝑋𝑊) → ((∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋 ↔ (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) = 2))
205202, 203, 204syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋 ↔ (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) = 2))
20690, 205mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) = 2)
20760ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑊 ∈ Fin)
208202, 203prssd 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → {(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ⊆ 𝑊)
209 ssdomg 8043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ Fin → ({(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ⊆ 𝑊 → {(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ≼ 𝑊))
210207, 208, 209sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → {(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ≼ 𝑊)
211 hashdomi 13207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ≼ 𝑊 → (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) ≤ (#‘𝑊))
212210, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) ≤ (#‘𝑊))
213206, 212eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
214 suble0 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → ((2 − (#‘𝑊)) ≤ 0 ↔ 2 ≤ (#‘𝑊)))
21578, 80, 214sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((2 − (#‘𝑊)) ≤ 0 ↔ 2 ≤ (#‘𝑊)))
216213, 215mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (#‘𝑊)) ≤ 0)
21781, 76, 73, 89, 216lemul2ad 11002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (#‘𝑊))) ≤ ((log‘𝑥) · 0))
218 df-2 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 = (1 + 1)
219218oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 − (#‘𝑊)) = ((1 + 1) − (#‘𝑊))
220 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ ℂ)
22180recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
222220, 220, 221addsubassd 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((1 + 1) − (#‘𝑊)) = (1 + (1 − (#‘𝑊))))
223219, 222syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (#‘𝑊)) = (1 + (1 − (#‘𝑊))))
224223oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (#‘𝑊))) = ((log‘𝑥) · (1 + (1 − (#‘𝑊)))))
22572adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
22665ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
227226recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℂ)
228225, 220, 227adddid 10102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (1 + (1 − (#‘𝑊)))) = (((log‘𝑥) · 1) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
229225mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
230229oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) · 1) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) = ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
231224, 228, 2303eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (#‘𝑊))) = ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
232225mul01d 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
233217, 231, 2323brtr3d 4716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ≤ 0)
23434nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
235234ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
23650ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
23735ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
238237nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (ϕ‘𝑁))
23945, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
240 vmage0 24892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
24145, 240syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
24245nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 𝑛 ∈ ℝ)
24345nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 0 < 𝑛)
244 divge0 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Λ‘𝑛)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
245239, 241, 242, 243, 244syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
24641, 49, 245fsumge0 14571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
247246ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
248235, 236, 238, 247mulge0d 10642 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
24975, 76, 77, 233, 248letrd 10232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
250 leaddsub 10542 . . . . . . . . . . . . . 14 (((log‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) ∈ ℝ ∧ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ) → (((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ↔ (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))))
25173, 74, 77, 250syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ↔ (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))))
252249, 251mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
25373, 89absidd 14205 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(log‘𝑥)) = (log‘𝑥))
25468ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℝ)
25576, 73, 254, 89, 252letrd 10232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
256254, 255absidd 14205 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
257252, 253, 2563brtr4d 4717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(log‘𝑥)) ≤ (abs‘(((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))))
25817, 33, 70, 72, 257o1le 14427 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
259258ex 449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
260259necon1bd 2841 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋))
26116, 260mpi 20 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋)
262261adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋)
263262fveq1d 6231 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (𝑋𝑥))
26415, 263eqtr3d 2687 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (∗‘(𝑋𝑥)) = (𝑋𝑥))
26513, 264cjrebd 13986 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
266265ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑥) ∈ ℝ)
267 ffnfv 6428 . 2 (𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ ↔ (𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑥) ∈ ℝ))
26812, 266, 267sylanbrc 699 1 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  cima 5146  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  ontowfo 5924  cfv 5926  (class class class)co 6690  cdom 7995  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  [,)cico 12215  ...cfz 12364  cfl 12631  seqcseq 12841  #chash 13157  ccj 13880  abscabs 14018  cli 14259  𝑂(1)co1 14261  Σcsu 14460  ϕcphi 15516  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  Abelcabl 18240  1rcur 18547  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  Unitcui 18685  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nczn 19899  logclog 24346  Λcvma 24863  DChrcdchr 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-rpss 6979  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-o1 14265  df-lo1 14266  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-qus 16216  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-ga 17769  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-od 17994  df-gex 17995  df-pgp 17996  df-lsm 18097  df-pj1 18098  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-cyg 18326  df-dprd 18440  df-dpj 18441  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ply 23989  df-idp 23990  df-coe 23991  df-dgr 23992  df-quot 24091  df-log 24348  df-cxp 24349  df-em 24764  df-cht 24868  df-vma 24869  df-chp 24870  df-ppi 24871  df-mu 24872  df-dchr 25003
This theorem is referenced by:  dchrisum0  25254
  Copyright terms: Public domain W3C validator