MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lema 25248
Description: Lemma for dchrisum0 25254. Apply dchrisum 25226 for the function 1 / √𝑦. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lema (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚,𝑐,𝑡, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑚,𝑡   𝑊,𝑐,𝑡   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑚,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrisum0lema
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 rpvmasum2.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum2.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 rpvmasum2.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
7 rpvmasum2.w . . . . . 6 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
8 ssrab2 3720 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
97, 8eqsstri 3668 . . . . 5 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
10 dchrisum0.b . . . . 5 (𝜑𝑋𝑊)
119, 10sseldi 3634 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
1211eldifad 3619 . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
13 eldifsni 4353 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋1 )
1411, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑋1 )
15 fveq2 6229 . . . 4 (𝑛 = 𝑥 → (√‘𝑛) = (√‘𝑥))
1615oveq2d 6706 . . 3 (𝑛 = 𝑥 → (1 / (√‘𝑛)) = (1 / (√‘𝑥)))
17 1nn 11069 . . . 4 1 ∈ ℕ
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
19 rpsqrtcl 14049 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
2019adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
2120rprecred 11921 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
22 simp3r 1110 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛𝑥)
23 simp2l 1107 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2423rprege0d 11917 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
25 simp2r 1108 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2625rprege0d 11917 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
27 sqrtle 14045 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ (√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥)))
2824, 26, 27syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ (√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥)))
2922, 28mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥))
3023rpsqrtcld 14194 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
3125rpsqrtcld 14194 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
3230, 31lerecd 11929 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → ((√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥) ↔ (1 / (√‘𝑥)) ≤ (1 / (√‘𝑛))))
3329, 32mpbid 222 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (1 / (√‘𝑥)) ≤ (1 / (√‘𝑛)))
34 sqrtlim 24744 . . . 4 (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑛))) ⇝𝑟 0
3534a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑛))) ⇝𝑟 0)
36 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → (𝐿𝑎) = (𝐿𝑛))
3736fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
38 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → (√‘𝑎) = (√‘𝑛))
3938oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑎 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑎)) = (1 / (√‘𝑛)))
4037, 39oveq12d 6708 . . . 4 (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (1 / (√‘𝑛))))
4140cbvmptv 4783 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (1 / (√‘𝑛))))
421, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 14, 16, 18, 21, 33, 35, 41dchrisum 25226 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
4312adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
44 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
464, 1, 5, 2, 43, 45dchrzrhcl 25015 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
47 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
4847nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
4948rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
5049rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
5149rpne0d 11915 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ≠ 0)
5246, 50, 51divrecd 10842 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / (√‘𝑛)) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (1 / (√‘𝑛))))
5352mpteq2dva 4777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / (√‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (1 / (√‘𝑛)))))
54 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
5537, 38oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / (√‘𝑛)))
5655cbvmptv 4783 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / (√‘𝑛)))
5754, 56eqtri 2673 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / (√‘𝑛)))
5853, 57, 413eqtr4g 2710 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))
5958seqeq3d 12849 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))))
6059breq1d 4695 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡))
6160adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡))
62 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘𝑦) = (⌊‘𝑥))
6362fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
6463oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡))
6564fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
66 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (√‘𝑦) = (√‘𝑥))
6766oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 / (√‘𝑦)) = (𝑐 / (√‘𝑥)))
6865, 67breq12d 4698 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥))))
6968cbvralv 3201 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥)))
7058ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))
7170seqeq3d 12849 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))))
7271fveq1d 6231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)))
7372oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡) = ((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡))
7473fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
75 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐))
7675simplbi 475 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℝ)
7776ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℝ)
7877recnd 10106 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℂ)
79 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
80 elicopnf 12307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
8281simplbi 475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
84 0red 10079 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
85 1red 10093 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
86 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 1)
8881simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
8988adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
9084, 85, 83, 87, 89ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
9183, 90elrpd 11907 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9291rpsqrtcld 14194 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
9392rpcnd 11912 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
9492rpne0d 11915 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (√‘𝑥) ≠ 0)
9578, 93, 94divrecd 10842 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑐 / (√‘𝑥)) = (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))
9674, 95breq12d 4698 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥)) ↔ (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
9796ralbidva 3014 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
9869, 97syl5bb 272 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
9961, 98anbi12d 747 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) ↔ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))))
10099rexbidva 3078 . . 3 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))))
101100exbidv 1890 . 2 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) ↔ ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))))
10242, 101mpbird 247 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  cdif 3604  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  cz 11415  +crp 11870  [,)cico 12215  cfl 12631  seqcseq 12841  csqrt 14017  abscabs 14018  cli 14259  𝑟 crli 14260  Σcsu 14460  Basecbs 15904  0gc0g 16147  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nczn 19899  DChrcdchr 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-phi 15518  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-qus 16216  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-dchr 25003
This theorem is referenced by:  dchrisum0  25254
  Copyright terms: Public domain W3C validator