MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem1 25325
Description: Lemma for dchrisum0 25329. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
dchrisum0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑆,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑚,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑆(𝑎)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem1
StepHypRef Expression
1 fzfid 12887 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 fzfid 12887 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∈ Fin)
3 fzfid 12887 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ∈ Fin)
4 elfznn 12484 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
5 elfzuz 12452 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))
64, 5anim12i 591 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))))
76a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))))
8 elfzuz 12452 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))
9 elfznn 12484 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) → 𝑑 ∈ ℕ)
108, 9anim12ci 592 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))))
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))))
12 eluzelz 11810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1312ad2antll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1413zred 11595 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ)
15 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
16 2z 11522 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
17 rpexpcl 12994 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
1815, 16, 17sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
1918rpred 11986 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
2019adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
21 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℕ)
2221nnrpd 11984 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2314, 20, 22lemuldivd 12035 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 · 𝑑) ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑)))
2421nnred 11148 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
2515rprege0d 11993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
26 flge0nn0 12736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
27 nn0p1nn 11445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
30 simprr 813 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))
31 eluznn 11872 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3229, 30, 31syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3332nnrpd 11984 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
3424, 20, 33lemuldiv2d 12036 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 · 𝑑) ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
3523, 34bitr3d 270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
36 rpcn 11955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
3736adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837sqvald 13120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
40 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4140rpred 11986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 reflcl 12712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
43 peano2re 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
45 fllep1 12717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
47 eluzle 11813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ 𝑚)
4847ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ 𝑚)
4941, 44, 14, 46, 48letrd 10307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑥𝑚)
5041, 14, 40lemul1d 12029 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥𝑚 ↔ (𝑥 · 𝑥) ≤ (𝑚 · 𝑥)))
5149, 50mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥 · 𝑥) ≤ (𝑚 · 𝑥))
5239, 51eqbrtrd 4782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ≤ (𝑚 · 𝑥))
5320, 41, 33ledivmuld 12039 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥 ↔ (𝑥↑2) ≤ (𝑚 · 𝑥)))
5452, 53mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥)
55 nnre 11140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℝ)
5655ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
5720, 32nndivred 11182 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ)
58 letr 10244 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥) → 𝑑𝑥))
5956, 57, 41, 58syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ≤ 𝑥) → 𝑑𝑥))
6054, 59mpan2d 712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) → 𝑑𝑥))
6135, 60sylbid 230 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) → 𝑑𝑥))
6261pm4.71rd 670 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ (𝑑𝑥𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑))))
63 nnge1 11159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑑)
6463ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → 1 ≤ 𝑑)
65 1re 10152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
66 0lt1 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
6765, 66pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
6922rpregt0d 11992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑑))
7018adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
7170rpregt0d 11992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥↑2)))
72 lediv2 11026 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑑) ∧ ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥↑2))) → (1 ≤ 𝑑 ↔ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ ((𝑥↑2) / 1)))
7368, 69, 71, 72syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (1 ≤ 𝑑 ↔ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ ((𝑥↑2) / 1)))
7464, 73mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ ((𝑥↑2) / 1))
7520recnd 10181 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
7675div1d 10906 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 1) = (𝑥↑2))
7774, 76breqtrd 4786 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ (𝑥↑2))
78 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑑 ∈ ℕ)
79 nndivre 11169 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ)
8019, 78, 79syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ)
81 letr 10244 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8214, 80, 20, 81syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑑) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8377, 82mpan2d 712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8435, 83sylbird 250 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) → 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
8584pm4.71rd 670 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚) ↔ (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
8635, 62, 853bitr3d 298 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑𝑥𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑)) ↔ (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
87 fznnfl 12776 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
8887baibd 986 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ 𝑑𝑥))
8941, 21, 88syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ 𝑑𝑥))
9080flcld 12714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ ℤ)
91 elfz5 12448 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) ∧ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
9230, 90, 91syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
93 flge 12721 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥↑2) / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
9480, 13, 93syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
9592, 94bitr4d 271 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ↔ 𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑)))
9689, 95anbi12d 749 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑑𝑥𝑚 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑))))
9720flcld 12714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ ℤ)
98 elfz5 12448 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)) ∧ (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
9930, 97, 98syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
100 flge 12721 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
10120, 13, 100syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝑥↑2))))
10299, 101bitr4d 271 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ↔ 𝑚 ≤ (𝑥↑2)))
103 fznnfl 12776 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
104103baibd 986 . . . . . . . . 9 ((((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
10557, 21, 104syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ↔ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚)))
106102, 105anbi12d 749 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ↔ (𝑚 ≤ (𝑥↑2) ∧ 𝑑 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑚))))
10786, 96, 1063bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1)))) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
108107ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑥) + 1))) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))))
1097, 11, 108pm5.21ndd 368 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) ↔ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
110 ssun2 3885 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ⊆ ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
11128adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
112 nnuz 11837 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
113111, 112syl6eleq 2813 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1))
114 dchrisum0lem1a 25295 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ≤ ((𝑥↑2) / 𝑑) ∧ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥))))
115114simprd 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥)))
116 fzsplit2 12480 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))))
117113, 115, 116syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))))
118110, 117syl5sseqr 3760 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) ⊆ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
119118sselda 3709 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))
120 rpvmasum2.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (DChr‘𝑁)
121 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
122 rpvmasum2.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐺)
123 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
124 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
125 ssrab2 3793 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
126124, 125eqsstri 3741 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
127 dchrisum0.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑊)
128126, 127sseldi 3707 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
129128eldifad 3692 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐷)
130129ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑋𝐷)
131 elfzelz 12456 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℤ)
132131adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
133120, 121, 122, 123, 130, 132dchrzrhcl 25090 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
134 elfznn 12484 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))) → 𝑚 ∈ ℕ)
135134adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
136135nnrpd 11984 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
137136rpsqrtcld 14270 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
138137rpcnd 11988 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
139137rpne0d 11991 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑚) ≠ 0)
140133, 138, 139divcld 10914 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
1414adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
142141nnrpd 11984 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
143142rpsqrtcld 14270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑑) ∈ ℝ+)
144143rpcnne0d 11995 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0))
145144adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0))
146145simpld 477 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑑) ∈ ℂ)
147145simprd 482 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (√‘𝑑) ≠ 0)
148140, 146, 147divcld 10914 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
149119, 148syldan 488 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
150149anasss 682 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑))))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
1511, 2, 3, 109, 150fsumcom2 14625 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
152151mpteq2dva 4852 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
15365a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
154 2cn 11204 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
15515rpsqrtcld 14270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
156155rpcnd 11988 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
157 mulcl 10133 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
158154, 156, 157sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
159143rprecred 11997 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑑)) ∈ ℝ)
1601, 159fsumrecl 14585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) ∈ ℝ)
161160recnd 10181 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
162161, 158subcld 10505 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℂ)
163 2re 11203 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
164 dchrisum0.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
165 elrege0 12392 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
166164, 165sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
167166simpld 477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
168 remulcl 10134 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
169163, 167, 168sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
170169adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
171170, 155rerpdivcld 12017 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
172171recnd 10181 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
173158, 162, 172adddird 10178 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((2 · (√‘𝑥)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
174158, 161pncan3d 10508 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)))
175174oveq1d 6780 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((2 · (√‘𝑥)) + (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
176 2cnd 11206 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
177176, 156, 172mulassd 10176 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (2 · ((√‘𝑥) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
178170recnd 10181 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
179155rpne0d 11991 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ≠ 0)
180178, 156, 179divcan2d 10916 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (2 · 𝐶))
181180oveq2d 6781 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · ((√‘𝑥) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) = (2 · (2 · 𝐶)))
182177, 181eqtrd 2758 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (2 · (2 · 𝐶)))
183182oveq1d 6780 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((2 · (√‘𝑥)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) = ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
184173, 175, 1833eqtr3d 2766 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
185184mpteq2dva 4852 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))))
186 remulcl 10134 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℝ)
187163, 169, 186sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℝ)
188187recnd 10181 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℂ)
189188adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℂ)
190162, 172mulcld 10173 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℂ)
191 rpssre 11957 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
192 o1const 14470 . . . . . 6 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (2 · (2 · 𝐶)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (2 · 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
193191, 188, 192sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (2 · 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
194 eqid 2724 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))))
195194divsqrsum 24828 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ dom ⇝𝑟
196 rlimdmo1 14468 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ dom ⇝𝑟 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
197195, 196mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
198178, 156, 179divrecd 10917 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) = ((2 · 𝐶) · (1 / (√‘𝑥))))
199198mpteq2dva 4852 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) · (1 / (√‘𝑥)))))
200155rprecred 11997 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
201169recnd 10181 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
202 rlimconst 14395 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · 𝐶)) ⇝𝑟 (2 · 𝐶))
203191, 201, 202sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · 𝐶)) ⇝𝑟 (2 · 𝐶))
204 sqrtlim 24819 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
205204a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
206170, 200, 203, 205rlimmul 14495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) · (1 / (√‘𝑥)))) ⇝𝑟 ((2 · 𝐶) · 0))
207199, 206eqbrtrd 4782 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 ((2 · 𝐶) · 0))
208 rlimo1 14467 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 ((2 · 𝐶) · 0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
209207, 208syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
210162, 172, 197, 209o1mul2 14475 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
211189, 190, 193, 210o1add2 14474 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((2 · (2 · 𝐶)) + ((Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑥))) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
212185, 211eqeltrd 2803 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
213160, 171remulcld 10183 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℝ)
2143, 149fsumcl 14584 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
2151, 214fsumcl 14584 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
216215abscld 14295 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ ℝ)
217213recnd 10181 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℂ)
218217abscld 14295 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
219214abscld 14295 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ ℝ)
2201, 219fsumrecl 14585 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ ℝ)
2211, 214fsumabs 14653 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
222171adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
223159, 222remulcld 10183 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ∈ ℝ)
224119, 140syldan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
2253, 224fsumcl 14584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
226225abscld 14295 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ ℝ)
227 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
228 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (0g𝐺)
229 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
230 dchrisum0.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
231 dchrisum0.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
232121, 123, 227, 120, 122, 228, 124, 127, 229, 164, 230, 231dchrisum0lem1b 25324 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ≤ ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))
233226, 222, 143, 232lediv1dd 12044 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (√‘𝑑)) ≤ (((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) / (√‘𝑑)))
234143rpcnd 11988 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑑) ∈ ℂ)
235143rpne0d 11991 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑑) ≠ 0)
236225, 234, 235absdivd 14314 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) = ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (abs‘(√‘𝑑))))
2373, 234, 224, 235fsumdivc 14638 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
238237fveq2d 6308 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) = (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
239143rprege0d 11993 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑑) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑑)))
240 absid 14156 . . . . . . . . . . . 12 (((√‘𝑑) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑑)) → (abs‘(√‘𝑑)) = (√‘𝑑))
241239, 240syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(√‘𝑑)) = (√‘𝑑))
242241oveq2d 6781 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (abs‘(√‘𝑑))) = ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (√‘𝑑)))
243236, 238, 2423eqtr3rd 2767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) / (√‘𝑑)) = (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
244172adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
245244, 234, 235divrec2d 10918 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)) / (√‘𝑑)) = ((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
246233, 243, 2453brtr3d 4791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ ((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
2471, 219, 223, 246fsumle 14651 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
248159recnd 10181 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
2491, 172, 248fsummulc1 14637 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
250247, 249breqtrrd 4788 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
251216, 220, 213, 221, 250letrd 10307 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))))
252213leabsd 14273 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥))) ≤ (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
253216, 213, 218, 251, 252letrd 10307 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
254253adantrr 755 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ≤ (abs‘(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑑)) · ((2 · 𝐶) / (√‘𝑥)))))
255153, 212, 213, 215, 254o1le 14503 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑑)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
256152, 255eqeltrrd 2804 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  {crab 3018  cdif 3677  cun 3678  wss 3680  {csn 4285   class class class wbr 4760  cmpt 4837  dom cdm 5218  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  +∞cpnf 10184   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  +crp 11946  [,)cico 12291  ...cfz 12440  cfl 12706  seqcseq 12916  cexp 12975  csqrt 14093  abscabs 14094  cli 14335  𝑟 crli 14336  𝑂(1)co1 14337  Σcsu 14536  Basecbs 15980  0gc0g 16223  ℤRHomczrh 19971  ℤ/nczn 19974  DChrcdchr 25077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-ec 7864  df-qs 7868  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-o1 14341  df-lo1 14342  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-qus 16292  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-mulg 17663  df-subg 17713  df-nsg 17714  df-eqg 17715  df-ghm 17780  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-oppr 18744  df-dvdsr 18762  df-unit 18763  df-rnghom 18838  df-subrg 18901  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-lsp 19095  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-lidl 19297  df-rsp 19298  df-2idl 19355  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-zring 19942  df-zrh 19975  df-zn 19978  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-cmp 21313  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-cxp 24424  df-dchr 25078
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  25328
  Copyright terms: Public domain W3C validator