Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flblem1 25242
 Description: Lemma for dchrisum0flb 25244. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flblem1.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
dchrisum0flblem1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem1 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝑃,𝑏,𝑞,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1
Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10093 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2 0red 10079 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ ¬ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4153 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
4 1red 10093 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ∈ ℝ)
5 fzfid 12812 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝐴) ∈ Fin)
6 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
7 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnnn0d 11389 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
11 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
129, 10, 11znzrhfo 19944 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13 fof 6153 . . . . . . . . . 10 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
148, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
15 dchrisum0flblem1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
16 prmz 15436 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
1814, 17ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍))
196, 18ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
20 elfznn0 12471 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21 reexpcl 12917 . . . . . . 7 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
235, 22fsumrecl 14509 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
25 breq1 4688 . . . . . 6 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 ≤ 1 ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1))
26 breq1 4688 . . . . . 6 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1))
27 1le1 10693 . . . . . 6 1 ≤ 1
28 0le1 10589 . . . . . 6 0 ≤ 1
2925, 26, 27, 28keephyp 4185 . . . . 5 if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1
3029a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1)
31 dchrisum0flblem1.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
32 nn0uz 11760 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
3331, 32syl6eleq 2740 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘0))
34 fzn0 12393 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
3533, 34sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝐴) ≠ ∅)
36 hashnncl 13195 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ∈ Fin → ((#‘(0...𝐴)) ∈ ℕ ↔ (0...𝐴) ≠ ∅))
375, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘(0...𝐴)) ∈ ℕ ↔ (0...𝐴) ≠ ∅))
3835, 37mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(0...𝐴)) ∈ ℕ)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (#‘(0...𝐴)) ∈ ℕ)
4039nnge1d 11101 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ≤ (#‘(0...𝐴)))
41 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1)
4241oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = (1↑𝑖))
43 elfzelz 12380 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℤ)
44 1exp 12929 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → (1↑𝑖) = 1)
4642, 45sylan9eq 2705 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = 1)
4746sumeq2dv 14477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1)
48 fzfid 12812 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (0...𝐴) ∈ Fin)
49 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
50 fsumconst 14566 . . . . . . 7 (((0...𝐴) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((#‘(0...𝐴)) · 1))
5148, 49, 50sylancl 695 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((#‘(0...𝐴)) · 1))
5239nncnd 11074 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (#‘(0...𝐴)) ∈ ℂ)
5352mulid1d 10095 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → ((#‘(0...𝐴)) · 1) = (#‘(0...𝐴)))
5447, 51, 533eqtrd 2689 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = (#‘(0...𝐴)))
5540, 54breqtrrd 4713 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
563, 4, 24, 30, 55letrd 10232 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
57 oveq1 6697 . . . . . . 7 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
5857breq1d 4695 . . . . . 6 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → ((1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)))))
59 oveq1 6697 . . . . . . 7 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
6059breq1d 4695 . . . . . 6 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → ((0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)))))
61 1re 10077 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
6219adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
63 resubcl 10383 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6461, 62, 63sylancr 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6564adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6665leidd 10632 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
6764recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℂ)
6867adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℂ)
6968mulid2d 10096 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
70 nn0p1nn 11370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7131, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7271ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
73720expd 13064 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (0↑(𝐴 + 1)) = 0)
74 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0)
7574oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (0↑(𝐴 + 1)))
7673, 75, 743eqtr4d 2695 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
77 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
7831ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
79 expp1 12907 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) · -1))
8077, 78, 79sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) · -1))
81 prmnn 15435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8382, 31nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
8483nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8584ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8685sqsqrtd 14222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((√‘(𝑃𝐴))↑2) = (𝑃𝐴))
8786oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
8815ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
89 nnq 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ)
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ)
91 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ → (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0)
93 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℤ
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
95 pcexp 15611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
9688, 90, 92, 94, 95syl121anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
9778nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
98 pcid 15624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
9988, 97, 98syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
10087, 96, 993eqtr3rd 2694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
101100oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑𝐴) = (-1↑(2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))))
10277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
103 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ)
10488, 103pccld 15602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℕ0)
105 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
107102, 104, 106expmuld 13051 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))) = ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
108 neg1sqe1 12999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
109108oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))
110104nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℤ)
111 1exp 12929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
113109, 112syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
114101, 107, 1133eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑𝐴) = 1)
115114oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑𝐴) · -1) = (1 · -1))
11677mulid2i 10081 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · -1) = -1
117115, 116syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑𝐴) · -1) = -1)
11880, 117eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
119118adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
12019recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
122121ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
123122negnegd 10421 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → --(𝑋‘(𝐿𝑃)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
124 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1)
125124ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1)
126 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (DChr‘𝑁)
127 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (Base‘𝐺)
128 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋𝐷)
129128ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → 𝑋𝐷)
130 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
131126, 9, 127, 10, 130, 128, 18dchrn0 25020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0 ↔ (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍)))
132131ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0 ↔ (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍)))
133132biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍))
134126, 127, 129, 9, 130, 133dchrabs 25030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = 1)
135 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = 1 ↔ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1))
136134, 135syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1))
137136necon3ad 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1 → ¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃))))
138125, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
13962ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
140139absord 14198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∨ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃))))
141140ord 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃))))
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃)))
143142, 134eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → -(𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1)
144143negeqd 10313 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → --(𝑋‘(𝐿𝑃)) = -1)
145123, 144eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = -1)
146145oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (-1↑(𝐴 + 1)))
147119, 146, 1453eqtr4d 2695 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
14876, 147pm2.61dane 2910 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
149148oveq2d 6706 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
15066, 69, 1493brtr4d 4717 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
15167mul02d 10272 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = 0)
152 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
15331, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
15419, 153reexpcld 13065 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
155154adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
156155recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
157156abscld 14219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
158 1red 10093 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 1 ∈ ℝ)
159155leabsd 14197 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
160153adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
161121, 160absexpd 14235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)))
162121abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
163121absge0d 14227 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))))
164126, 127, 9, 10, 128, 18dchrabs2 25032 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1)
165164adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1)
166 exple1 12960 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∧ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1) ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
167162, 163, 165, 160, 166syl31anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
168161, 167eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ≤ 1)
169155, 157, 158, 159, 168letrd 10232 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
170 subge0 10579 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1))
17161, 155, 170sylancr 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1))
172169, 171mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
173151, 172eqbrtrd 4707 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
174173adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ ¬ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
17558, 60, 150, 174ifbothda 4156 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
176 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
17761, 176keepel 4188 . . . . . . 7 if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
179 resubcl 10383 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18061, 155, 179sylancr 696 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
181124necomd 2878 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 1 ≠ (𝑋‘(𝐿𝑃)))
18262leabsd 14197 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))))
18362, 162, 158, 182, 165letrd 10232 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≤ 1)
18462, 158, 183leltned 10228 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 1 ≠ (𝑋‘(𝐿𝑃))))
185181, 184mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1)
186 posdif 10559 . . . . . . . 8 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
18762, 61, 186sylancl 695 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
188185, 187mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
189 lemuldiv 10941 . . . . . 6 ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ ∧ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))) → ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))))
190178, 180, 64, 188, 189syl112anc 1370 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))))
191175, 190mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
19231nn0zd 11518 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
193 fzval3 12576 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
194192, 193syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
195194adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
196195sumeq1d 14475 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
197 0nn0 11345 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
198197a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ∈ ℕ0)
199153, 32syl6eleq 2740 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘0))
200199adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘0))
201121, 124, 198, 200geoserg 14642 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = ((((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
202121exp0d 13042 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) = 1)
203202oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
204203oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
205196, 201, 2043eqtrd 2689 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
206191, 205breqtrrd 4713 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
20756, 206pm2.61dane 2910 . 2 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
208 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0g𝐺)
209 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
2109, 11, 7, 126, 127, 208, 209dchrisum0fval 25239 . . . 4 ((𝑃𝐴) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
21183, 210syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
212 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑘 = (𝑃𝑖) → (𝐿𝑘) = (𝐿‘(𝑃𝑖)))
213212fveq2d 6233 . . . 4 (𝑘 = (𝑃𝑖) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))))
214 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)) = (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))
215214dvdsppwf1o 24957 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)):(0...𝐴)–1-1-onto→{𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)})
21615, 31, 215syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)):(0...𝐴)–1-1-onto→{𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)})
217 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑖 → (𝑃𝑏) = (𝑃𝑖))
218 ovex 6718 . . . . . 6 (𝑃𝑏) ∈ V
219217, 214, 218fvmpt3i 6326 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
220219adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
2216adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
222 elrabi 3391 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} → 𝑘 ∈ ℕ)
223222nnzd 11519 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} → 𝑘 ∈ ℤ)
224 ffvelrn 6397 . . . . . . 7 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐿𝑘) ∈ (Base‘𝑍))
22514, 223, 224syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝐿𝑘) ∈ (Base‘𝑍))
226221, 225ffvelrnd 6400 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℝ)
227226recnd 10106 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℂ)
228213, 5, 216, 220, 227fsumf1o 14498 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))))
229 zsubrg 19847 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
230 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
231230subrgsubm 18841 . . . . . . . . . . 11 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
232229, 231mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
23320adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
23417adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑃 ∈ ℤ)
235 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
236 zringmpg 19888 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
237236eqcomi 2660 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℤring) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
238 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℤring)) = (.g‘(mulGrp‘ℤring))
239235, 237, 238submmulg 17633 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃))
240232, 233, 234, 239syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃))
24182nncnd 11074 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
242 cnfldexp 19827 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑃𝑖))
243241, 20, 242syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑃𝑖))
244240, 243eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃) = (𝑃𝑖))
245244fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝐿‘(𝑃𝑖)))
2469zncrng 19941 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
247 crngring 18604 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
2488, 246, 2473syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
24911zrhrhm 19908 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
250 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℤring) = (mulGrp‘ℤring)
251 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
252250, 251rhmmhm 18770 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → 𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
253248, 249, 2523syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
254253adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
255 zringbas 19872 . . . . . . . . . 10 ℤ = (Base‘ℤring)
256250, 255mgpbas 18541 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘(mulGrp‘ℤring))
257 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (.g‘(mulGrp‘𝑍)) = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
258256, 238, 257mhmmulg 17630 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
259254, 233, 234, 258syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
260245, 259eqtr3d 2687 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑃𝑖)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
261260fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))))
262126, 9, 127dchrmhm 25011 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
263262, 128sseldi 3634 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
264263adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
26518adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍))
266251, 10mgpbas 18541 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
267266, 257, 235mhmmulg 17630 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))))
268264, 233, 265, 267syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))))
269 cnfldexp 19827 . . . . . 6 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
270120, 20, 269syl2an 493 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
271261, 268, 2703eqtrd 2689 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
272271sumeq2dv 14477 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
273211, 228, 2723eqtrd 2689 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
274207, 273breqtrrd 4713 1 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  {crab 2945  ∅c0 3948  ifcif 4119   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ⟶wf 5922  –onto→wfo 5924  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℚcq 11826  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  ↑cexp 12900  #chash 13157  √csqrt 14017  abscabs 14018  Σcsu 14460   ∥ cdvds 15027  ℙcprime 15432   pCnt cpc 15588  Basecbs 15904   ↾s cress 15905  0gc0g 16147   MndHom cmhm 17380  SubMndcsubmnd 17381  .gcmg 17587  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  Unitcui 18685   RingHom crh 18760  SubRingcsubrg 18824  ℂfldccnfld 19794  ℤringzring 19866  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nℤczn 19899  DChrcdchr 25002 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-qus 16216  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-od 17994  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-dchr 25003 This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  25243  dchrisum0flb  25244
 Copyright terms: Public domain W3C validator