Theorem dchrinv 25185

Description: The inverse of a Dirichlet character is the conjugate (which is also the multiplicative inverse, because the values of 𝑋 are unimodular). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrabs.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

Proof of Theorem dchrinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrabs.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrabs.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		dchrabs.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6		cjf 14043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
7		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
8	1, 2, 3, 7, 5	dchrf 25166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9		fco 6219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
10	6, 8, 9	sylancr 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
11		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
12	1, 3	dchrrcl 25164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
13	5, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	1, 2, 7, 11, 13, 3	dchrelbas3 25162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
15	5, 14	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
16	15	simprd 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
17	16	simp1d 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
18	17	r19.21bi 3070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
19	18	r19.21bi 3070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
20	19	anasss 682	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
21	20	fveq2d 6356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = (∗‘((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
22	8	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
23	7, 11	unitss 18860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ⊆ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
24		simprl 811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
25	23, 24	sseldi 3742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
26	22, 25	ffvelrnd 6523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
27		simprr 813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
28	23, 27	sseldi 3742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
29	22, 28	ffvelrnd 6523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
30	26, 29	cjmuld 14160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
31	21, 30	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
32	13	nnnn0d 11543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	2	zncrng 20095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
34		crngring 18758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
36	35	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
37		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
38	7, 37	ringcl 18761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
39	36, 25, 28, 38	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
40		fvco3 6437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
41	22, 39, 40	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (∗‘(𝑋‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦))))
42		fvco3 6437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
43	22, 25, 42	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
44		fvco3 6437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋‘𝑦)))
45	22, 28, 44	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦) = (∗‘(𝑋‘𝑦)))
46	43, 45	oveq12d 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) = ((∗‘(𝑋‘𝑥)) · (∗‘(𝑋‘𝑦))))
47	31, 41, 46	3eqtr4d 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
48	47	ralrimivva 3109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)))
49		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
50	7, 49	ringidcl 18768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
51	35, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
52		fvco3 6437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
53	8, 51, 52	syl2anc 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
54	16	simp2d 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
55	54	fveq2d 6356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (∗‘1))
56		1re 10231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
57		cjre 14078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘1) = 1
59	55, 58	syl6eq 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = 1)
60	53, 59	eqtrd 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
61	16	simp3d 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
62	8, 42	sylan 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
63		cj0 14097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∗‘0) = 0
64	63	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (∗‘0)
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 0 = (∗‘0))
66	62, 65	eqeq12d 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0)))
67	8	ffvelrnda 6522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
68		0cn 10224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℂ
69		cj11 14101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
70	67, 68, 69	sylancl 697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗‘(𝑋‘𝑥)) = (∗‘0) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
71	66, 70	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
72	71	necon3bid 2976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑥) ≠ 0))
73	72	imbi1d 330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
74	73	ralbidva 3123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
75	61, 74	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
76	48, 60, 75	3jca 1123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
77	1, 2, 7, 11, 13, 3	dchrelbas3 25162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ↔ ((∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))∀𝑦 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((∗ ∘ 𝑋)‘(𝑥(.r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))𝑦)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑦)) ∧ ((∗ ∘ 𝑋)‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
78	10, 76, 77	mpbir2and 995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
79	1, 2, 3, 4, 5, 78	dchrmul 25172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘𝑓 · (∗ ∘ 𝑋)))
80	79	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (𝑋 ∘𝑓 · (∗ ∘ 𝑋)))
81	80	fveq1d 6354	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋 ∘𝑓 · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥))
82	23	sseli 3740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
83	82, 62	sylan2 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
84	83	oveq2d 6829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = ((𝑋‘𝑥) · (∗‘(𝑋‘𝑥))))
85	82, 67	sylan2 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
86	85	absvalsqd 14380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = ((𝑋‘𝑥) · (∗‘(𝑋‘𝑥))))
87	5	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
88		simpr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
89	1, 3, 87, 2, 11, 88	dchrabs 25184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (abs‘(𝑋‘𝑥)) = 1)
90	89	oveq1d 6828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = (1↑2))
91		sq1 13152	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
92	90, 91	syl6eq 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((abs‘(𝑋‘𝑥))↑2) = 1)
93	84, 86, 92	3eqtr2d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)) = 1)
94	8	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
95		ffn 6206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ → 𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
96	94, 95	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
97		ffn 6206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗ ∘ 𝑋):(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
98	10, 97	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
99	98	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
100		fvexd 6364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
101	82	adantl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
102		fnfvof 7076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (∗ ∘ 𝑋) Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ ((Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((𝑋 ∘𝑓 · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
103	96, 99, 100, 101, 102	syl22anc 1478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋 ∘𝑓 · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑋‘𝑥) · ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥)))
104		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
105	13	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
106	1, 2, 104, 11, 105, 88	dchr1 25181	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((0g‘𝐺)‘𝑥) = 1)
107	93, 103, 106	3eqtr4d 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋 ∘𝑓 · (∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
108	81, 107	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
109	108	ralrimiva 3104	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥))
110	1, 2, 3, 4, 5, 78	dchrmulcl 25173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) ∈ 𝐷)
111	1	dchrabl 25178	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
112		ablgrp 18398	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
113	13, 111, 112	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
114	3, 104	grpidcl 17651	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
115	113, 114	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐷)
116	1, 2, 3, 11, 110, 115	dchreq 25182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))((𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋))‘𝑥) = ((0g‘𝐺)‘𝑥)))
117	109, 116	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺))
118		dchrinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
119	3, 4, 104, 118	grpinvid1 17671	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺)))
120	113, 5, 78, 119	syl3anc 1477	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(∗ ∘ 𝑋)) = (0g‘𝐺)))
121	117, 120	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ∘ ccom 5270   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ∘_𝑓 cof 7060  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133  ℕcn 11212  2c2 11262  ℕ₀cn0 11484  ↑cexp 13054  ∗ccj 14035  abscabs 14173  Basecbs 16059  +_gcplusg 16143  ._rcmulr 16144  0_gc0g 16302  Grpcgrp 17623  inv_gcminusg 17624  Abelcabl 18394  1_rcur 18701  Ringcrg 18747  CRingccrg 18748  Unitcui 18839  ℤ/nℤczn 20053  DChrcdchr 25156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-qus 16371  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-nsg 17793  df-eqg 17794  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-od 18148  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-lidl 19376  df-rsp 19377  df-2idl 19434  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-zring 20021  df-zrh 20054  df-zn 20057  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503  df-dchr 25157

This theorem is referenced by:  dchr2sum  25197  dchrisum0re  25401