MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrabs 25184
Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrabs.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrabs.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrabs.a (𝜑𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
dchrabs (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrabs.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrabs.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 dchrabs.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐷)
61, 2, 3, 4, 5dchrf 25166 . . . . . 6 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7 dchrabs.u . . . . . . . 8 𝑈 = (Unit‘𝑍)
84, 7unitss 18860 . . . . . . 7 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
9 dchrabs.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
108, 9sseldi 3742 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
116, 10ffvelrnd 6523 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
121, 2, 3, 4, 7, 5, 10dchrn0 25174 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑈))
139, 12mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ≠ 0)
1411, 13absrpcld 14386 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℝ+)
151, 3dchrrcl 25164 . . . . . . . 8 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
162, 4znfi 20110 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
175, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
18 ssfi 8345 . . . . . . 7 (((Base‘𝑍) ∈ Fin ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
1917, 8, 18sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
20 hashcl 13339 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Fin → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
2221nn0red 11544 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℝ)
2322recnd 10260 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
24 ne0i 4064 . . . . . . . 8 (𝐴𝑈𝑈 ≠ ∅)
259, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
26 hashnncl 13349 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Fin → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2719, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2825, 27mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ)
2928nnne0d 11257 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) ≠ 0)
3023, 29reccld 10986 . . . 4 (𝜑 → (1 / (♯‘𝑈)) ∈ ℂ)
3114, 22, 30cxpmuld 24679 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = (((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
3223, 29recidd 10988 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈))) = 1)
3332oveq2d 6829 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐((♯‘𝑈) · (1 / (♯‘𝑈)))) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1))
3411abscld 14374 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℝ)
3534recnd 10260 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℂ)
36 cxpexp 24613 . . . . . 6 (((abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(♯‘𝑈)))
3735, 21, 36syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(♯‘𝑈)))
3811, 21absexpd 14390 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈))) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(♯‘𝑈)))
39 cnring 19970 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ Ring
40 cnfldbas 19952 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (Base‘ℂfld)
41 cnfld0 19972 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘ℂfld)
42 cndrng 19977 . . . . . . . . . . . . 13 fld ∈ DivRing
4340, 41, 42drngui 18955 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
44 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
4543, 44unitsubm 18870 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
4639, 45mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
47 eldifsn 4462 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0))
4811, 13, 47sylanbrc 701 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
49 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
50 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
51 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
5249, 50, 51submmulg 17787 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
5346, 21, 48, 52syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
54 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
551, 2, 3, 7, 54, 50, 5dchrghm 25180 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
5621nn0zd 11672 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑈) ∈ ℤ)
577, 54unitgrpbas 18866 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
58 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
5957, 58, 51ghmmulg 17873 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑈) → ((𝑋𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)))
6055, 56, 9, 59syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)))
615, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6261nnnn0d 11543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
632zncrng 20095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
64 crngring 18758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
6562, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
667, 54unitgrp 18867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
68 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
6957, 68oddvds2 18183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑈) → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
7067, 19, 9, 69syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈))
71 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
7257, 68, 58, 71oddvds 18166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐴𝑈 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
7367, 9, 56, 72syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (♯‘𝑈) ↔ ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
7470, 73mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
75 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝑍) = (1r𝑍)
767, 54, 75unitgrpid 18869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
7765, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
7874, 77eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (1r𝑍))
7978fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)))
80 fvres 6368 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑈 → ((𝑋𝑈)‘𝐴) = (𝑋𝐴))
819, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘𝐴) = (𝑋𝐴))
8281oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
8360, 79, 823eqtr3d 2802 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = ((♯‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
847, 751unit 18858 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
85 fvres 6368 . . . . . . . . . 10 ((1r𝑍) ∈ 𝑈 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
8665, 84, 853syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
8753, 83, 863eqtr2d 2800 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
88 cnfldexp 19981 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈)))
8911, 21, 88syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈)))
901, 2, 3dchrmhm 25165 . . . . . . . . . 10 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
9190, 5sseldi 3742 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
92 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
9392, 75ringidval 18703 . . . . . . . . . 10 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
94 cnfld1 19973 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r‘ℂfld)
9544, 94ringidval 18703 . . . . . . . . . 10 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
9693, 95mhm0 17544 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
9791, 96syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
9887, 89, 973eqtr3d 2802 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈)) = 1)
9998fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈))) = (abs‘1))
100 abs1 14236 . . . . . 6 (abs‘1) = 1
10199, 100syl6eq 2810 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(♯‘𝑈))) = 1)
10237, 38, 1013eqtr2d 2800 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈)) = 1)
103102oveq1d 6828 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(♯‘𝑈))↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
10431, 33, 1033eqtr3d 2802 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))))
10535cxp1d 24651 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1) = (abs‘(𝑋𝐴)))
106301cxpd 24652 . 2 (𝜑 → (1↑𝑐(1 / (♯‘𝑈))) = 1)
107104, 105, 1063eqtr3d 2802 1 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  cres 5268  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133   / cdiv 10876  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  cexp 13054  chash 13311  abscabs 14173  cdvds 15182  Basecbs 16059  s cress 16060  0gc0g 16302   MndHom cmhm 17534  SubMndcsubmnd 17535  Grpcgrp 17623  .gcmg 17741   GrpHom cghm 17858  odcod 18144  mulGrpcmgp 18689  1rcur 18701  Ringcrg 18747  CRingccrg 18748  Unitcui 18839  fldccnfld 19948  ℤ/nczn 20053  𝑐ccxp 24501  DChrcdchr 25156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-qus 16371  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-nsg 17793  df-eqg 17794  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-od 18148  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-lidl 19376  df-rsp 19377  df-2idl 19434  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-zring 20021  df-zrh 20054  df-zn 20057  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503  df-dchr 25157
This theorem is referenced by:  dchrinv  25185  dchrabs2  25186  sum2dchr  25198  dchrisum0flblem1  25396
  Copyright terms: Public domain W3C validator