MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr1re 25209
Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr1re.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1re.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1re.o 1 = (0g𝐺)
dchr1re.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr1re.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dchr1re (𝜑1 :𝐵⟶ℝ)

Proof of Theorem dchr1re
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1re.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchr1re.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4 dchr1re.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
5 dchr1re.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
61dchrabl 25200 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 18405 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8 dchr1re.o . . . . . 6 1 = (0g𝐺)
93, 8grpidcl 17658 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ (Base‘𝐺))
105, 6, 7, 94syl 19 . . . 4 (𝜑1 ∈ (Base‘𝐺))
111, 2, 3, 4, 10dchrf 25188 . . 3 (𝜑1 :𝐵⟶ℂ)
1211ffnd 6185 . 2 (𝜑1 Fn 𝐵)
13 simpr 471 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) = 0) → ( 1𝑥) = 0)
14 0re 10246 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1513, 14syl6eqel 2858 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) = 0) → ( 1𝑥) ∈ ℝ)
16 eqid 2771 . . . . . 6 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
175ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
1810adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐺))
19 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
201, 2, 3, 4, 16, 18, 19dchrn0 25196 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 1𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
2120biimpa 462 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))
221, 2, 8, 16, 17, 21dchr1 25203 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) ≠ 0) → ( 1𝑥) = 1)
23 1re 10245 . . . . 5 1 ∈ ℝ
2422, 23syl6eqel 2858 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) ≠ 0) → ( 1𝑥) ∈ ℝ)
2515, 24pm2.61dane 3030 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1𝑥) ∈ ℝ)
2625ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 1𝑥) ∈ ℝ)
27 ffnfv 6533 . 2 ( 1 :𝐵⟶ℝ ↔ ( 1 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ( 1𝑥) ∈ ℝ))
2812, 26, 27sylanbrc 572 1 (𝜑1 :𝐵⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143  cn 11226  Basecbs 16064  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  Abelcabl 18401  Unitcui 18847  ℤ/nczn 20066  DChrcdchr 25178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-ec 7902  df-qs 7906  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-nsg 17800  df-eqg 17801  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-lidl 19389  df-rsp 19390  df-2idl 19447  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zn 20070  df-dchr 25179
This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  25397
  Copyright terms: Public domain W3C validator