Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr1re 25209
 Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr1re.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1re.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1re.o 1 = (0g𝐺)
dchr1re.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr1re.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dchr1re (𝜑1 :𝐵⟶ℝ)

Proof of Theorem dchr1re
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1re.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchr1re.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4 dchr1re.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
5 dchr1re.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
61dchrabl 25200 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 18405 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8 dchr1re.o . . . . . 6 1 = (0g𝐺)
93, 8grpidcl 17658 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ (Base‘𝐺))
105, 6, 7, 94syl 19 . . . 4 (𝜑1 ∈ (Base‘𝐺))
111, 2, 3, 4, 10dchrf 25188 . . 3 (𝜑1 :𝐵⟶ℂ)
1211ffnd 6185 . 2 (𝜑1 Fn 𝐵)
13 simpr 471 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) = 0) → ( 1𝑥) = 0)
14 0re 10246 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1513, 14syl6eqel 2858 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) = 0) → ( 1𝑥) ∈ ℝ)
16 eqid 2771 . . . . . 6 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
175ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
1810adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐺))
19 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
201, 2, 3, 4, 16, 18, 19dchrn0 25196 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 1𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
2120biimpa 462 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))
221, 2, 8, 16, 17, 21dchr1 25203 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) ≠ 0) → ( 1𝑥) = 1)
23 1re 10245 . . . . 5 1 ∈ ℝ
2422, 23syl6eqel 2858 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) ≠ 0) → ( 1𝑥) ∈ ℝ)
2515, 24pm2.61dane 3030 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1𝑥) ∈ ℝ)
2625ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 1𝑥) ∈ ℝ)
27 ffnfv 6533 . 2 ( 1 :𝐵⟶ℝ ↔ ( 1 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ( 1𝑥) ∈ ℝ))
2812, 26, 27sylanbrc 572 1 (𝜑1 :𝐵⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061   Fn wfn 6025  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  ℂcc 10140  ℝcr 10141  0cc0 10142  1c1 10143  ℕcn 11226  Basecbs 16064  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  Abelcabl 18401  Unitcui 18847  ℤ/nℤczn 20066  DChrcdchr 25178 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-addf 10221  ax-mulf 10222 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-ec 7902  df-qs 7906  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-nsg 17800  df-eqg 17801  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-lidl 19389  df-rsp 19390  df-2idl 19447  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zn 20070  df-dchr 25179 This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  25397
 Copyright terms: Public domain W3C validator