Theorem dchr1 25203

Description: Value of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr1.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1.o	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchr1.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchr1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dchr1	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem dchr1

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchr1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
7		dchr1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dchr1cl 25197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺))
9		eleq1w 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
10	9	ifbid 4247	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0) = if(𝑥 ∈ 𝑈, 1, 0))
11	10	cbvmptv 4884	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑥 ∈ 𝑈, 1, 0))
12		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 8	dchrmulid2 25198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)))
14	1	dchrabl 25200	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
15		ablgrp 18405	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
16		dchr1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
17	3, 12, 16	isgrpid2 17666	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) ↔ 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))))
18	7, 14, 15, 17	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))(+g‘𝐺)(𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))) ↔ 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))))
19	8, 13, 18	mpbi2and 691	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑘 ∈ (Base‘𝑍) ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)))
20		simpr 471	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 = 𝐴)
21		dchr1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
22	21	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑈)
23	20, 22	eqeltrd 2850	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑈)
24	23	iftrued 4233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0) = 1)
25	4, 5	unitss 18868	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
26	25, 21	sseldi 3750	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
27		1cnd 10258	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
28	19, 24, 26, 27	fvmptd 6430	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ifcif 4225   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  0cc0 10138  1c1 10139  ℕcn 11222  Basecbs 16064  +_gcplusg 16149  0_gc0g 16308  Grpcgrp 17630  Abelcabl 18401  Unitcui 18847  ℤ/nℤczn 20066  DChrcdchr 25178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-addf 10217  ax-mulf 10218

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-nsg 17800  df-eqg 17801  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-lidl 19389  df-rsp 19390  df-2idl 19447  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zn 20070  df-dchr 25179

This theorem is referenced by:  dchrinv  25207  dchr1re  25209  dchrsum2  25214  rpvmasumlem  25397  rpvmasum2  25422