Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznrng 42434
Description: The ring constructed from a ℤ/n structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
cznrng.0 0 = (0g𝑌)
Assertion
Ref Expression
cznrng ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznrng
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11462 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 cznrng.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32zncrng 20066 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
5 crngring 18729 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
7 cznrng.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑌)
86, 7ring0cl 18740 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → 0𝐵)
9 eleq1a 2822 . . . . . . 7 ( 0𝐵 → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
115, 10syl 17 . . . . 5 (𝑌 ∈ CRing → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
124, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
1312imp 444 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝐶𝐵)
14 cznrng.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
152, 6, 14cznabel 42433 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
1615adantlr 753 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
17 eqid 2748 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
182, 6, 14cznrnglem 42432 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑋)
1917, 18mgpbas 18666 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
2014fveq2i 6343 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
21 fvex 6350 . . . . . . . . 9 (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ V
222, 21eqeltri 2823 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
23 fvex 6350 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑌) ∈ V
246, 23eqeltri 2823 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
2524, 24mpt2ex 7403 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
26 mulrid 16170 . . . . . . . . 9 .r = Slot (.r‘ndx)
2726setsid 16087 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)))
2822, 25, 27mp2an 710 . . . . . . 7 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
2920, 28mgpplusg 18664 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
3029eqcomi 2757 . . . . 5 (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
31 ne0i 4052 . . . . . 6 (𝐶𝐵𝐵 ≠ ∅)
3231adantl 473 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
33 simpr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
3419, 30, 32, 33copissgrp 42287 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∈ SGrp)
35 oveq1 6808 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = ( 0 (+g𝑌)𝐶))
3635ad3antlr 769 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = ( 0 (+g𝑌)𝐶))
374, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
38 ringmnd 18727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Mnd)
4039adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑌 ∈ Mnd)
4140anim1i 593 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵))
4241adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵))
43 eqid 2748 . . . . . . . . . 10 (+g𝑌) = (+g𝑌)
446, 43, 7mndlid 17483 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵) → ( 0 (+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ( 0 (+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
4636, 45eqtrd 2782 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
47 eqidd 2749 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶))
48 eqidd 2749 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → 𝐶 = 𝐶)
49 simpr1 1210 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑎𝐵)
50 simpr2 1212 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑏𝐵)
5133adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝐶𝐵)
5247, 48, 49, 50, 51ovmpt2d 6941 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) = 𝐶)
53 eqidd 2749 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
54 simpr3 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐𝐵)
5547, 53, 49, 54, 51ovmpt2d 6941 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
5652, 55oveq12d 6819 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g𝑌)𝐶))
57 eqidd 2749 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = (𝑏(+g𝑌)𝑐))) → 𝐶 = 𝐶)
5837ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
596, 43ringacl 18749 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏(+g𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
6058, 50, 54, 59syl3anc 1463 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏(+g𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
6147, 57, 49, 60, 51ovmpt2d 6941 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = 𝐶)
6246, 56, 613eqtr4rd 2793 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))
63 eqidd 2749 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
6447, 63, 50, 54, 51ovmpt2d 6941 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
6555, 64oveq12d 6819 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g𝑌)𝐶))
66 eqidd 2749 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
676, 43ringacl 18749 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
6858, 49, 50, 67syl3anc 1463 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
6947, 66, 68, 54, 51ovmpt2d 6941 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
7046, 65, 693eqtr4rd 2793 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))
7162, 70jca 555 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐))))
7271ralrimivvva 3098 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐))))
7316, 34, 723jca 1403 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ SGrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
7413, 73mpdan 705 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ SGrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
75 plusgid 16150 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
76 plusgndxnmulrndx 16171 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7775, 76setsnid 16088 . . . 4 (+g𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
7814fveq2i 6343 . . . 4 (+g𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
7977, 78eqtr4i 2773 . . 3 (+g𝑌) = (+g𝑋)
8014eqcomi 2757 . . . . 5 (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩) = 𝑋
8180fveq2i 6343 . . . 4 (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)) = (.r𝑋)
8228, 81eqtri 2770 . . 3 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r𝑋)
8318, 17, 79, 82isrng 42355 . 2 (𝑋 ∈ Rng ↔ (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ SGrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
8474, 83sylibr 224 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wral 3038  Vcvv 3328  c0 4046  cop 4315  cfv 6037  (class class class)co 6801  cmpt2 6803  cn 11183  0cn0 11455  ndxcnx 16027   sSet csts 16028  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  .rcmulr 16115  0gc0g 16273  SGrpcsgrp 17455  Mndcmnd 17466  Abelcabl 18365  mulGrpcmgp 18660  Ringcrg 18718  CRingccrg 18719  ℤ/nczn 20024  Rngcrng 42353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-ec 7901  df-qs 7905  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-0g 16275  df-imas 16341  df-qus 16342  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-subg 17763  df-nsg 17764  df-eqg 17765  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-cring 18721  df-oppr 18794  df-subrg 18951  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-lsp 19145  df-sra 19345  df-rgmod 19346  df-lidl 19347  df-rsp 19348  df-2idl 19405  df-cnfld 19920  df-zring 19992  df-zn 20028  df-rng0 42354
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator