Theorem cznrng 42434

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
cznrng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cznrng	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11462	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		cznrng.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3	2	zncrng 20066	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
5		crngring 18729	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6		cznrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		cznrng.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
8	6, 7	ring0cl 18740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
9		eleq1a 2822	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
11	5, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
12	4, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 = 0 → 𝐶 ∈ 𝐵))
13	12	imp 444	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝐶 ∈ 𝐵)
14		cznrng.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
15	2, 6, 14	cznabel 42433	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
16	15	adantlr 753	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
17		eqid 2748	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
18	2, 6, 14	cznrnglem 42432	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑋)
19	17, 18	mgpbas 18666	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
20	14	fveq2i 6343	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
21		fvex 6350	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ V
22	2, 21	eqeltri 2823	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
23		fvex 6350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
24	6, 23	eqeltri 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
25	24, 24	mpt2ex 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V
26		mulrid 16170	. . . . . . . . 9 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
27	26	setsid 16087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)))
28	22, 25, 27	mp2an 710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
29	20, 28	mgpplusg 18664	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
30	29	eqcomi 2757	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
31		ne0i 4052	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
32	31	adantl 473	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
33		simpr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
34	19, 30, 32, 33	copissgrp 42287	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∈ SGrp)
35		oveq1 6808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶(+g‘𝑌)𝐶) = ( 0 (+g‘𝑌)𝐶))
36	35	ad3antlr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐶(+g‘𝑌)𝐶) = ( 0 (+g‘𝑌)𝐶))
37	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
38		ringmnd 18727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Mnd)
40	39	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑌 ∈ Mnd)
41	40	anim1i 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
42	41	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
43		eqid 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
44	6, 43, 7	mndlid 17483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑌)𝐶) = 𝐶)
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ( 0 (+g‘𝑌)𝐶) = 𝐶)
46	36, 45	eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐶(+g‘𝑌)𝐶) = 𝐶)
47		eqidd 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
48		eqidd 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → 𝐶 = 𝐶)
49		simpr1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
50		simpr2 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
51	33	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
52	47, 48, 49, 50, 51	ovmpt2d 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏) = 𝐶)
53		eqidd 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
54		simpr3 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
55	47, 53, 49, 54, 51	ovmpt2d 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
56	52, 55	oveq12d 6819	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g‘𝑌)𝐶))
57		eqidd 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = (𝑏(+g‘𝑌)𝑐))) → 𝐶 = 𝐶)
58	37	ad3antrrr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
59	6, 43	ringacl 18749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(+g‘𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
60	58, 50, 54, 59	syl3anc 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(+g‘𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
61	47, 57, 49, 60, 51	ovmpt2d 6941	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = 𝐶)
62	46, 56, 61	3eqtr4rd 2793	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))
63		eqidd 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
64	47, 63, 50, 54, 51	ovmpt2d 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
65	55, 64	oveq12d 6819	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g‘𝑌)𝐶))
66		eqidd 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
67	6, 43	ringacl 18749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
68	58, 49, 50, 67	syl3anc 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
69	47, 66, 68, 54, 51	ovmpt2d 6941	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = 𝐶)
70	46, 65, 69	3eqtr4rd 2793	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))
71	62, 70	jca 555	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐))))
72	71	ralrimivvva 3098	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐))))
73	16, 34, 72	3jca 1403	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ SGrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))))
74	13, 73	mpdan 705	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ SGrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))))
75		plusgid 16150	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
76		plusgndxnmulrndx 16171	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
77	75, 76	setsnid 16088	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
78	14	fveq2i 6343	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
79	77, 78	eqtr4i 2773	. . 3 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑋)
80	14	eqcomi 2757	. . . . 5 ⊢ (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩) = 𝑋
81	80	fveq2i 6343	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)) = (.r‘𝑋)
82	28, 81	eqtri 2770	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘𝑋)
83	18, 17, 79, 82	isrng 42355	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ Rng ↔ (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ SGrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)(𝑏(+g‘𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑏)(+g‘𝑌)(𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏)(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)(+g‘𝑌)(𝑏(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)𝑐)))))
84	74, 83	sylibr 224	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  ∀wral 3038  Vcvv 3328  ∅c0 4046  ⟨cop 4315  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801   ↦ cmpt2 6803  ℕcn 11183  ℕ₀cn0 11455  ndxcnx 16027   sSet csts 16028  Basecbs 16030  +_gcplusg 16114  ._rcmulr 16115  0_gc0g 16273  SGrpcsgrp 17455  Mndcmnd 17466  Abelcabl 18365  mulGrpcmgp 18660  Ringcrg 18718  CRingccrg 18719  ℤ/nℤczn 20024  Rngcrng 42353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-addf 10178  ax-mulf 10179

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-ec 7901  df-qs 7905  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-0g 16275  df-imas 16341  df-qus 16342  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-subg 17763  df-nsg 17764  df-eqg 17765  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-cring 18721  df-oppr 18794  df-subrg 18951  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-lsp 19145  df-sra 19345  df-rgmod 19346  df-lidl 19347  df-rsp 19348  df-2idl 19405  df-cnfld 19920  df-zring 19992  df-zn 20028  df-rng0 42354

This theorem is referenced by: (None)