Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznnring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznnring 42466
 Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure with 1 < 𝑛 by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
cznrng.0 0 = (0g𝑌)
Assertion
Ref Expression
cznnring ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznnring
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
2 cznrng.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
4 cznrng.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
52, 3, 4cznrnglem 42463 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑋)
61, 5mgpbas 18695 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
74fveq2i 6355 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
8 fvex 6362 . . . . . . . . . 10 (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ V
92, 8eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 𝑌 ∈ V
10 fvex 6362 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑌) ∈ V
113, 10eqeltri 2835 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
1211, 11mpt2ex 7415 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
13 mulrid 16199 . . . . . . . . . 10 .r = Slot (.r‘ndx)
1413setsid 16116 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)))
159, 12, 14mp2an 710 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
167, 15mgpplusg 18693 . . . . . . 7 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
1716eqcomi 2769 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
18 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
19 eluz2 11885 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
20 1lt2 11386 . . . . . . . . . 10 1 < 2
21 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22 2re 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
24 zre 11573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
25 ltletr 10321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
2726expcomd 453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁)))
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁))))
29283imp 1102 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 → 1 < 𝑁))
3020, 29mpi 20 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
3119, 30sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
32 eluz2nn 11919 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
332, 3znhash 20109 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (♯‘𝐵) = 𝑁)
3531, 34breqtrrd 4832 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (♯‘𝐵))
3635adantr 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 1 < (♯‘𝐵))
376, 17, 18, 36copisnmnd 42319 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd)
38 df-nel 3036 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd ↔ ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
3937, 38sylib 208 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
4039intn3an2d 1592 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))(𝑏(+g𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑏)(+g𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)(+g𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)))))
41 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑋) = (+g𝑋)
424eqcomi 2769 . . . . 5 (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩) = 𝑋
4342fveq2i 6355 . . . 4 (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)) = (.r𝑋)
445, 1, 41, 43isring 18751 . . 3 (𝑋 ∈ Ring ↔ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))(𝑏(+g𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑏)(+g𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)(+g𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)))))
4540, 44sylnibr 318 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ Ring)
46 df-nel 3036 . 2 (𝑋 ∉ Ring ↔ ¬ 𝑋 ∈ Ring)
4745, 46sylibr 224 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∉ wnel 3035  ∀wral 3050  Vcvv 3340  ⟨cop 4327   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815  ℝcr 10127  1c1 10129   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  2c2 11262  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  ♯chash 13311  ndxcnx 16056   sSet csts 16057  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  .rcmulr 16144  0gc0g 16302  Mndcmnd 17495  Grpcgrp 17623  mulGrpcmgp 18689  Ringcrg 18747  ℤ/nℤczn 20053 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-hash 13312  df-dvds 15183  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-imas 16370  df-qus 16371  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-nsg 17793  df-eqg 17794  df-ghm 17859  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-rnghom 18917  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-lidl 19376  df-rsp 19377  df-2idl 19434  df-cnfld 19949  df-zring 20021  df-zrh 20054  df-zn 20057 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator