Theorem cznnring 42466

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure with 1 < 𝑛 by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
cznrng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cznnring	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznnring

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
2		cznrng.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		cznrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4		cznrng.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
5	2, 3, 4	cznrnglem 42463	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑋)
6	1, 5	mgpbas 18695	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
7	4	fveq2i 6355	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
8		fvex 6362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ V
9	2, 8	eqeltri 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ V
10		fvex 6362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
11	3, 10	eqeltri 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
12	11, 11	mpt2ex 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V
13		mulrid 16199	. . . . . . . . . 10 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
14	13	setsid 16116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)))
15	9, 12, 14	mp2an 710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
16	7, 15	mgpplusg 18693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
17	16	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
18		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
19		eluz2 11885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
20		1lt2 11386	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
21		1red 10247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		2re 11282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
24		zre 11573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
25		ltletr 10321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
27	26	expcomd 453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁)))
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁))))
29	28	3imp 1102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 → 1 < 𝑁))
30	20, 29	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
31	19, 30	sylbi 207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
32		eluz2nn 11919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
33	2, 3	znhash 20109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘𝐵) = 𝑁)
35	31, 34	breqtrrd 4832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (♯‘𝐵))
36	35	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 < (♯‘𝐵))
37	6, 17, 18, 36	copisnmnd 42319	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd)
38		df-nel 3036	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd ↔ ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
39	37, 38	sylib 208	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
40	39	intn3an2d 1592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))(𝑏(+g‘𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑏)(+g‘𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)(+g‘𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)))))
41		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘𝑋)
42	4	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩) = 𝑋
43	42	fveq2i 6355	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)) = (.r‘𝑋)
44	5, 1, 41, 43	isring 18751	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Ring ↔ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))(𝑏(+g‘𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑏)(+g‘𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)(+g‘𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)))))
45	40, 44	sylnibr 318	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ Ring)
46		df-nel 3036	. 2 ⊢ (𝑋 ∉ Ring ↔ ¬ 𝑋 ∈ Ring)
47	45, 46	sylibr 224	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∉ wnel 3035  ∀wral 3050  Vcvv 3340  ⟨cop 4327   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815  ℝcr 10127  1c1 10129   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  2c2 11262  ℤcz 11569  ℤ_≥cuz 11879  ♯chash 13311  ndxcnx 16056   sSet csts 16057  Basecbs 16059  +_gcplusg 16143  ._rcmulr 16144  0_gc0g 16302  Mndcmnd 17495  Grpcgrp 17623  mulGrpcmgp 18689  Ringcrg 18747  ℤ/nℤczn 20053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-hash 13312  df-dvds 15183  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-imas 16370  df-qus 16371  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-nsg 17793  df-eqg 17794  df-ghm 17859  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-rnghom 18917  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-lidl 19376  df-rsp 19377  df-2idl 19434  df-cnfld 19949  df-zring 20021  df-zrh 20054  df-zn 20057

This theorem is referenced by: (None)