Theorem cyggic 20144

Description: Cyclic groups are isomorphic precisely when they have the same order. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygctb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygctb.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
cyggic	⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐺 ≃𝑔 𝐻 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Proof of Theorem cyggic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cygctb.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐻)
3	1, 2	gicen 17941	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 → 𝐵 ≈ 𝐶)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
6	1, 4, 5	cygzn 20142	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
7	6	ad2antrr 764	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
8		enfi 8344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
9	8	adantl 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
10		hasheni 13351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐶))
11	10	adantl 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐶))
12	9, 11	ifbieq1d 4254	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
13	12	fveq2d 6358	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)))
14		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)
15		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
16	2, 14, 15	cygzn 20142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ CycGrp → 𝐻 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)))
17	16	ad2antlr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐻 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)))
18		gicsym 17938	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) → (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) ≃𝑔 𝐻)
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) ≃𝑔 𝐻)
20	13, 19	eqbrtrd 4827	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) ≃𝑔 𝐻)
21		gictr 17939	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) ∧ (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) ≃𝑔 𝐻) → 𝐺 ≃𝑔 𝐻)
22	7, 20, 21	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐺 ≃𝑔 𝐻)
23	22	ex 449	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐺 ≃𝑔 𝐻))
24	3, 23	impbid2 216	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐺 ≃𝑔 𝐻 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ifcif 4231   class class class wbr 4805  ‘cfv 6050   ≈ cen 8121  Fincfn 8124  0cc0 10149  ♯chash 13332  Basecbs 16080   ≃_𝑔 cgic 17922  CycGrpccyg 18500  ℤ/nℤczn 20074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-tpos 7523  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-omul 7736  df-er 7914  df-ec 7916  df-qs 7920  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-acn 8979  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-dvds 15204  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-0g 16325  df-imas 16391  df-qus 16392  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-nsg 17814  df-eqg 17815  df-ghm 17880  df-gim 17923  df-gic 17924  df-od 18169  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-cyg 18501  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-cring 18771  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-rnghom 18938  df-subrg 19001  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19195  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-lidl 19397  df-rsp 19398  df-2idl 19455  df-cnfld 19970  df-zring 20042  df-zrh 20075  df-zn 20078

This theorem is referenced by: (None)