MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggexb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggexb 18496
Description: A finite abelian group is cyclic iff the exponent equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
cyggex.o 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggexb ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ 𝐸 = (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem cyggexb
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cyggex.o . . . . 5 𝐸 = (gEx‘𝐺)
31, 2cyggex 18495 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 = (♯‘𝐵))
43expcom 450 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = (♯‘𝐵)))
54adantl 473 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = (♯‘𝐵)))
6 simpll 807 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 18394 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
87ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simplr 809 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
101, 2gexcl2 18200 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)
118, 9, 10syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐸 ∈ ℕ)
12 eqid 2756 . . . . . 6 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
131, 2, 12gexex 18452 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ∃𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸)
146, 11, 13syl2anc 696 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → ∃𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸)
15 simplr 809 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐸 = (♯‘𝐵))
1615eqeq2d 2766 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)))
17 eqid 2756 . . . . . . . . . 10 (.g𝐺) = (.g𝐺)
18 eqid 2756 . . . . . . . . . 10 {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} = {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵}
191, 17, 18, 12cyggenod 18482 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))))
208, 9, 19syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))))
21 ne0i 4060 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} → {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅)
221, 17, 18iscyg2 18480 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
2322baib 982 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
248, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
2521, 24syl5ibr 236 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} → 𝐺 ∈ CycGrp))
2620, 25sylbird 250 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → ((𝑥𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp))
2726expdimp 452 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) → 𝐺 ∈ CycGrp))
2816, 27sylbid 230 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸𝐺 ∈ CycGrp))
2928rexlimdva 3165 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (∃𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸𝐺 ∈ CycGrp))
3014, 29mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
3130ex 449 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐸 = (♯‘𝐵) → 𝐺 ∈ CycGrp))
325, 31impbid 202 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ 𝐸 = (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wrex 3047  {crab 3050  c0 4054  cmpt 4877  ran crn 5263  cfv 6045  (class class class)co 6809  Fincfn 8117  cn 11208  cz 11565  chash 13307  Basecbs 16055  Grpcgrp 17619  .gcmg 17737  odcod 18140  gExcgex 18141  Abelcabl 18390  CycGrpccyg 18475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-disj 4769  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-omul 7730  df-er 7907  df-ec 7909  df-qs 7913  df-map 8021  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-acn 8954  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-mod 12859  df-seq 12992  df-exp 13051  df-fac 13251  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-sum 14612  df-dvds 15179  df-gcd 15415  df-prm 15584  df-pc 15740  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-0g 16300  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-sbg 17624  df-mulg 17738  df-subg 17788  df-eqg 17790  df-od 18144  df-gex 18145  df-cmn 18391  df-abl 18392  df-cyg 18476
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator