Theorem cygctb 18493

Description: A cyclic group is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cygctb	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐵 ≼ ω)

Proof of Theorem cygctb

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3	1, 2	iscyg 18481	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵))
4	3	simprbi 483	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵)
5		ovex 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ∈ V
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
7	5, 6	fnmpti 6183	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) Fn ℤ
8		df-fo 6055	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 ↔ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) Fn ℤ ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵))
9	7, 8	mpbiran 991	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵)
10		omelon 8716	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ On
11		onenon 8965	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ dom card
13		znnen 15140	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ≈ ℕ
14		nnenom 12973	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
15	13, 14	entri 8175	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ≈ ω
16		ennum 8963	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ ≈ ω → (ℤ ∈ dom card ↔ ω ∈ dom card))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ∈ dom card ↔ ω ∈ dom card)
18	12, 17	mpbir 221	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ dom card
19		fodomnum 9070	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ∈ dom card → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ ℤ))
20	18, 19	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ ℤ))
21		domentr 8180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ ℤ ∧ ℤ ≈ ω) → 𝐵 ≼ ω)
22	15, 21	mpan2 709	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ ℤ → 𝐵 ≼ ω)
23	20, 22	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ ω))
24	9, 23	syl5bir 233	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵 → 𝐵 ≼ ω))
25	24	rexlimdva 3169	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵 → 𝐵 ≼ ω))
26	4, 25	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐵 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  Oncon0 5884   Fn wfn 6044  –onto→wfo 6047  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230   ≈ cen 8118   ≼ cdom 8119  cardccrd 8951  ℕcn 11212  ℤcz 11569  Basecbs 16059  Grpcgrp 17623  ._gcmg 17741  CycGrpccyg 18479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-cyg 18480

This theorem is referenced by: (None)