Theorem cycsubg2 17839

Description: The subgroup generated by an element is exhausted by its multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubg2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubg2.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubg2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubg2.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
cycsubg2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem cycsubg2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssg 4450	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦))
2	1	bicomd 213	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ({𝐴} ⊆ 𝑦 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
3	2	adantl 467	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({𝐴} ⊆ 𝑦 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
4	3	rabbidv 3339	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ {𝐴} ⊆ 𝑦} = {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑦})
5	4	inteqd 4616	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ {𝐴} ⊆ 𝑦} = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑦})
6		cycsubg2.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	subgacs 17837	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋))
8	7	acsmred 16524	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
9		snssi 4474	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
10		cycsubg2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
11	10	mrcval 16478	. . 3 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ {𝐴} ⊆ 𝑦})
12	8, 9, 11	syl2an 583	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ {𝐴} ⊆ 𝑦})
13		cycsubg2.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
14		cycsubg2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
15	6, 13, 14	cycsubg 17830	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑦})
16	5, 12, 15	3eqtr4d 2815	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065   ⊆ wss 3723  {csn 4316  ∩ cint 4611   ↦ cmpt 4863  ran crn 5250  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℤcz 11579  Basecbs 16064  Moorecmre 16450  mrClscmrc 16451  Grpcgrp 17630  ._gcmg 17748  SubGrpcsubg 17796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mulg 17749  df-subg 17799

This theorem is referenced by:  odf1o1  18194  odf1o2  18195  cycsubgcyg2  18510  pgpfac1lem2  18682  pgpfac1lem3  18684  pgpfac1lem4  18685