MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpsqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpsqrt 24646
Description: The complex exponential function with exponent 1 / 2 exactly matches the complex square root function (the branch cut is in the same place for both functions), and thus serves as a suitable generalization to other 𝑛-th roots and irrational roots. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpsqrt (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Proof of Theorem cxpsqrt
StepHypRef Expression
1 halfcn 11437 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
2 halfre 11436 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
3 halfgt0 11438 . . . . . . 7 0 < (1 / 2)
42, 3gt0ne0ii 10754 . . . . . 6 (1 / 2) ≠ 0
5 0cxp 24609 . . . . . 6 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ≠ 0) → (0↑𝑐(1 / 2)) = 0)
61, 4, 5mp2an 710 . . . . 5 (0↑𝑐(1 / 2)) = 0
7 sqrt0 14179 . . . . 5 (√‘0) = 0
86, 7eqtr4i 2783 . . . 4 (0↑𝑐(1 / 2)) = (√‘0)
9 oveq1 6818 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (0↑𝑐(1 / 2)))
10 fveq2 6350 . . . 4 (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
118, 9, 103eqtr4a 2818 . . 3 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
1211a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13 ax-icn 10185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
14 sqrtcl 14298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
1514ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
16 sqmul 13118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
1713, 15, 16sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
18 i2 13157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i↑2) = -1
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i↑2) = -1)
20 sqrtth 14301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2120ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2219, 21oveq12d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
23 mulm1 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
2423ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
2517, 22, 243eqtrd 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
26 cxpsqrtlem 24645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
2726resqcld 13227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
2825, 27eqeltrrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
29 negeq0 10525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
3029necon3bid 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
3130biimpa 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ≠ 0)
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ≠ 0)
3325, 32eqnetrd 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0)
34 sq0i 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i · (√‘𝐴)) = 0 → ((i · (√‘𝐴))↑2) = 0)
3534necon3i 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0 → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
3726, 36sqgt0d 13229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < ((i · (√‘𝐴))↑2))
3837, 25breqtrd 4828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < -𝐴)
3928, 38elrpd 12060 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ+)
40 logneg 24531 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
42 negneg 10521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
4342ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → --𝐴 = 𝐴)
4443fveq2d 6354 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = (log‘𝐴))
4539relogcld 24566 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℝ)
4645recnd 10258 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℂ)
47 picn 24408 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
4813, 47mulcli 10235 . . . . . . . . . . . . 13 (i · π) ∈ ℂ
49 addcom 10412 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5046, 48, 49sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5141, 44, 503eqtr3d 2800 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘𝐴) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5251oveq2d 6827 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))))
53 adddi 10215 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
541, 48, 53mp3an12 1561 . . . . . . . . . . 11 ((log‘-𝐴) ∈ ℂ → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
5546, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
5652, 55eqtrd 2792 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
57 2cn 11281 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
58 2ne0 11303 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
59 divrec2 10892 . . . . . . . . . . . 12 (((i · π) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π)))
6048, 57, 58, 59mp3an 1571 . . . . . . . . . . 11 ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π))
6113, 47, 57, 58divassi 10971 . . . . . . . . . . 11 ((i · π) / 2) = (i · (π / 2))
6260, 61eqtr3i 2782 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · (i · π)) = (i · (π / 2))
6362oveq1i 6821 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))
6456, 63syl6eq 2808 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
6564fveq2d 6354 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
6647, 57, 58divcli 10957 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℂ
6713, 66mulcli 10235 . . . . . . . 8 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
68 mulcl 10210 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
691, 46, 68sylancr 698 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
70 efadd 15021 . . . . . . . 8 (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
7167, 69, 70sylancr 698 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
72 efhalfpi 24420 . . . . . . . . 9 (exp‘(i · (π / 2))) = i
7372a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘(i · (π / 2))) = i)
74 negcl 10471 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7574ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
761a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
77 cxpef 24608 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
7875, 32, 76, 77syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
79 ax-1cn 10184 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
80 2halves 11450 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8281oveq2i 6822 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (-𝐴𝑐1)
83 cxp1 24614 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴𝑐1) = -𝐴)
8475, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐1) = -𝐴)
8582, 84syl5eq 2804 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = -𝐴)
86 rpcxpcl 24619 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
8739, 2, 86sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
8887rpcnd 12065 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
8988sqvald 13197 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
90 cxpadd 24622 . . . . . . . . . . . . 13 (((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9175, 32, 76, 76, 90syl211anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9289, 91eqtr4d 2795 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))))
9375sqsqrtd 14375 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴)↑2) = -𝐴)
9485, 92, 933eqtr4d 2802 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2))
9587rprege0d 12070 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9639rpsqrtcld 14347 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ ℝ+)
9796rprege0d 12070 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴)))
98 sq11 13128 . . . . . . . . . . 11 ((((-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴𝑐(1 / 2))) ∧ ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴))) → (((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
9995, 97, 98syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
10094, 99mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴))
10178, 100eqtr3d 2794 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = (√‘-𝐴))
10273, 101oveq12d 6829 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = (i · (√‘-𝐴)))
10365, 71, 1023eqtrd 2796 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (i · (√‘-𝐴)))
104 cxpef 24608 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
1051, 104mp3an3 1560 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
106105adantr 472 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
10743fveq2d 6354 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
10839rpge0d 12067 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
10928, 108sqrtnegd 14357 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
110107, 109eqtr3d 2794 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
111103, 106, 1103eqtr4d 2802 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
112111ex 449 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
11381oveq2i 6822 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴𝑐1)
114 cxpadd 24622 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
1151, 1, 114mp3an23 1563 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
116 cxp1 24614 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
117116adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
118113, 115, 1173eqtr3a 2816 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))) = 𝐴)
119 cxpcl 24617 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
1201, 119mpan2 709 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
121120sqvald 13197 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
122121adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
12320adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
124118, 122, 1233eqtr4d 2802 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
125 sqeqor 13170 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
126120, 14, 125syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
127126biimpa 502 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2)) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
128124, 127syldan 488 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
129128ord 391 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
130129con1d 139 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
131112, 130pm2.61d 170 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
132131ex 449 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13312, 132pm2.61dne 3016 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930   class class class wbr 4802  cfv 6047  (class class class)co 6811  cc 10124  cr 10125  0cc0 10126  1c1 10127  ici 10128   + caddc 10129   · cmul 10131   < clt 10264  cle 10265  -cneg 10457   / cdiv 10874  2c2 11260  +crp 12023  cexp 13052  csqrt 14170  expce 14989  πcpi 14994  logclog 24498  𝑐ccxp 24499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ioc 12371  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-mod 12861  df-seq 12994  df-exp 13053  df-fac 13253  df-bc 13282  df-hash 13310  df-shft 14004  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-limsup 14399  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-ef 14995  df-sin 14997  df-cos 14998  df-pi 15000  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-lp 21140  df-perf 21141  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-haus 21319  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-cncf 22880  df-limc 23827  df-dv 23828  df-log 24500  df-cxp 24501
This theorem is referenced by:  logsqrt  24647  dvsqrt  24680  dvcnsqrt  24682  resqrtcn  24687  sqrtcn  24688  efiatan  24836  efiatan2  24841  sqrtlim  24896  chpchtlim  25365  logdivsqrle  31035
  Copyright terms: Public domain W3C validator