MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxploglim2 24925
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) ⇝𝑟 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem cxploglim2
StepHypRef Expression
1 3re 11306 . . 3 3 ∈ ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℝ)
3 0red 10253 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
43recnd 10280 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℂ)
5 ovexd 6844 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ V)
6 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7 recl 14069 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
87adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
9 1re 10251 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
10 ifcl 4274 . . . . . . 7 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
118, 9, 10sylancl 697 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
129a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
13 0lt1 10762 . . . . . . . 8 0 < 1
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
15 max1 12229 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
169, 8, 15sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
173, 12, 11, 14, 16ltletrd 10409 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
1811, 17elrpd 12082 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
196, 18rpdivcld 12102 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
20 cxploglim 24924 . . . 4 ((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))) ⇝𝑟 0)
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))) ⇝𝑟 0)
225, 21, 18rlimcxp 24920 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ⇝𝑟 0)
235, 21rlimmptrcl 14557 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ ℂ)
2411adantr 472 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
2524recnd 10280 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
2623, 25cxpcld 24674 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℂ)
27 relogcl 24542 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
2827adantl 473 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
2928recnd 10280 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
30 simpll 807 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3129, 30cxpcld 24674 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
32 simpr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
33 rpre 12052 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
3433ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
3532, 34rpcxpcld 24696 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
3635rpcnd 12087 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐𝐵) ∈ ℂ)
3735rpne0d 12090 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐𝐵) ≠ 0)
3831, 36, 37divcld 11013 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵)) ∈ ℂ)
3938adantrr 755 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵)) ∈ ℂ)
4039abscld 14394 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) ∈ ℝ)
41 rpre 12052 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ)
4241ad2antrl 766 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
439a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
441a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 3 ∈ ℝ)
45 1lt3 11408 . . . . . . . . . 10 1 < 3
4645a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < 3)
47 simprr 813 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 3 ≤ 𝑛)
4843, 44, 42, 46, 47ltletrd 10409 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < 𝑛)
4942, 48rplogcld 24595 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ+)
5032adantrr 755 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
5133ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5218adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
5351, 52rerpdivcld 12116 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
5450, 53rpcxpcld 24696 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ+)
5549, 54rpdivcld 12102 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ ℝ+)
5611adantr 472 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
5755, 56rpcxpcld 24696 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
5857rpred 12085 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
5926adantrr 755 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℂ)
6059abscld 14394 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ)
6131adantrr 755 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
6261abscld 14394 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
6349, 56rpcxpcld 24696 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
6463rpred 12085 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
6535adantrr 755 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
66 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
67 abscxp 24658 . . . . . . . 8 (((log‘𝑛) ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) = ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)))
6849, 66, 67syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) = ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)))
6966recld 14153 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
70 max2 12231 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
719, 69, 70sylancr 698 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
7227ad2antrl 766 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
73 loge 24553 . . . . . . . . . 10 (log‘e) = 1
74 ere 15038 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e ∈ ℝ)
76 egt2lt3 15153 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e ∧ e < 3)
7776simpri 481 . . . . . . . . . . . . 13 e < 3
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e < 3)
7975, 44, 42, 78, 47ltletrd 10409 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e < 𝑛)
80 epr 15155 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
81 logltb 24566 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (e < 𝑛 ↔ (log‘e) < (log‘𝑛)))
8280, 50, 81sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (e < 𝑛 ↔ (log‘e) < (log‘𝑛)))
8379, 82mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘e) < (log‘𝑛))
8473, 83syl5eqbrr 4840 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < (log‘𝑛))
8572, 84, 69, 56cxpled 24686 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ↔ ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
8671, 85mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
8768, 86eqbrtrd 4826 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
8862, 64, 65, 87lediv1dd 12143 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛𝑐𝐵)) ≤ (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛𝑐𝐵)))
8931, 36, 37absdivd 14413 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛𝑐𝐵))))
9089adantrr 755 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛𝑐𝐵))))
9165rprege0d 12092 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝑛𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛𝑐𝐵)))
92 absid 14255 . . . . . . . 8 (((𝑛𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛𝑐𝐵)) → (abs‘(𝑛𝑐𝐵)) = (𝑛𝑐𝐵))
9391, 92syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(𝑛𝑐𝐵)) = (𝑛𝑐𝐵))
9493oveq2d 6830 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛𝑐𝐵)))
9590, 94eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛𝑐𝐵)))
9649rprege0d 12092 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝑛)))
9711recnd 10280 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
9897adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
99 divcxp 24653 . . . . . . 7 ((((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝑛)) ∧ (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ+ ∧ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
10096, 54, 98, 99syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
10150, 53, 98cxpmuld 24700 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛𝑐((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = ((𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
10251recnd 10280 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10352rpne0d 12090 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ≠ 0)
104102, 98, 103divcan1d 11014 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = 𝐵)
105104oveq2d 6830 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛𝑐((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = (𝑛𝑐𝐵))
106101, 105eqtr3d 2796 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (𝑛𝑐𝐵))
107106oveq2d 6830 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛𝑐𝐵)))
108100, 107eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛𝑐𝐵)))
10988, 95, 1083brtr4d 4836 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) ≤ (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
11058leabsd 14372 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ≤ (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
11140, 58, 60, 109, 110letrd 10406 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) ≤ (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
11239subid1d 10593 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵)) − 0) = (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵)))
113112fveq2d 6357 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵)) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))))
11459subid1d 10593 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0) = (((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
115114fveq2d 6357 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
116111, 113, 1153brtr4d 4836 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵)) − 0)) ≤ (abs‘((((log‘𝑛) / (𝑛𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0)))
1172, 4, 22, 26, 38, 116rlimsqzlem 14598 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛𝑐𝐵))) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  2c2 11282  3c3 11283  +crp 12045  cre 14056  abscabs 14193  𝑟 crli 14435  eceu 15012  logclog 24521  𝑐ccxp 24522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-e 15018  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524
This theorem is referenced by:  logexprlim  25170
  Copyright terms: Public domain W3C validator