MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn2 24657
Description: Continuity of the complex power function, when the base is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn2.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn2.k 𝐾 = (𝐽t+)
Assertion
Ref Expression
cxpcn2 (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐽
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cxpcn2
StepHypRef Expression
1 cxpcn2.k . . . 4 𝐾 = (𝐽t+)
2 cxpcn2.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 22758 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 rpcn 12005 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
5 ax-1 6 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+))
6 eqid 2748 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
76ellogdm 24555 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
84, 5, 7sylanbrc 701 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
98ssriv 3736 . . . . 5 + ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
10 cnex 10180 . . . . . 6 ℂ ∈ V
11 difss 3868 . . . . . 6 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
1210, 11ssexi 4943 . . . . 5 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ V
13 restabs 21142 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ V) → ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾t+) = (𝐽t+))
143, 9, 12, 13mp3an 1561 . . . 4 ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾t+) = (𝐽t+)
151, 14eqtr4i 2773 . . 3 𝐾 = ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾t+)
163a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
17 resttopon 21138 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
1816, 11, 17sylancl 697 . . 3 (⊤ → (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
199a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
203toponunii 20894 . . . . . 6 ℂ = 𝐽
2120restid 16267 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) → (𝐽t ℂ) = 𝐽)
223, 21ax-mp 5 . . . 4 (𝐽t ℂ) = 𝐽
2322eqcomi 2757 . . 3 𝐽 = (𝐽t ℂ)
24 ssid 3753 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
2524a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
26 eqid 2748 . . . . 5 (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
276, 2, 26cxpcn 24656 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)), 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2827a1i 11 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)), 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2915, 18, 19, 23, 16, 25, 28cnmpt2res 21653 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3029trud 1630 1 (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1620  wtru 1621  wcel 2127  Vcvv 3328  cdif 3700  wss 3703  cfv 6037  (class class class)co 6801  cmpt2 6803  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  -∞cmnf 10235  +crp 11996  (,]cioc 12340  t crest 16254  TopOpenctopn 16255  fldccnfld 19919  TopOnctopon 20888   Cn ccn 21201   ×t ctx 21536  𝑐ccxp 24472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ioc 12344  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226  df-bc 13255  df-hash 13283  df-shft 13977  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-ef 14968  df-sin 14970  df-cos 14971  df-tan 14972  df-pi 14973  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-pt 16278  df-prds 16281  df-xrs 16335  df-qtop 16340  df-imas 16341  df-xps 16343  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-mulg 17713  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-cnfld 19920  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-cld 20996  df-ntr 20997  df-cls 20998  df-nei 21075  df-lp 21113  df-perf 21114  df-cn 21204  df-cnp 21205  df-haus 21292  df-cmp 21363  df-tx 21538  df-hmeo 21731  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-xms 22297  df-ms 22298  df-tms 22299  df-cncf 22853  df-limc 23800  df-dv 23801  df-log 24473  df-cxp 24474
This theorem is referenced by:  cxpcn3  24659
  Copyright terms: Public domain W3C validator