Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrval2 34879
Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. Definition of covers in [Kalmbach] p. 15. (cvbr2 29270 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrletr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrletr.l = (le‘𝐾)
cvrletr.s < = (lt‘𝐾)
cvrletr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrval2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   < (𝑧)   (𝑧)

Proof of Theorem cvrval2
StepHypRef Expression
1 cvrletr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrletr.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 cvrletr.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrval 34874 . 2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
5 iman 439 . . . . . . . 8 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
6 df-ne 2824 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑌 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑌)
76anbi2i 730 . . . . . . . 8 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
85, 7xchbinxr 324 . . . . . . 7 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌))
9 cvrletr.l . . . . . . . . . . . . 13 = (le‘𝐾)
109, 2pltval 17007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝐴𝑧𝐵𝑌𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
11103com23 1291 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝐴𝑌𝐵𝑧𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
12113expa 1284 . . . . . . . . . 10 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
1312anbi2d 740 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 𝑌𝑧𝑌))))
14 anass 682 . . . . . . . . 9 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
1513, 14syl6rbbr 279 . . . . . . . 8 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
1615notbid 307 . . . . . . 7 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (¬ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
178, 16syl5bb 272 . . . . . 6 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
1817ralbidva 3014 . . . . 5 ((𝐾𝐴𝑌𝐵) → (∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ∀𝑧𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
19 ralnex 3021 . . . . 5 (∀𝑧𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))
2018, 19syl6bb 276 . . . 4 ((𝐾𝐴𝑌𝐵) → (∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
2120anbi2d 740 . . 3 ((𝐾𝐴𝑌𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
22213adant2 1100 . 2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
234, 22bitr4d 271 1 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  ltcplt 16988  ccvr 34867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-plt 17005  df-covers 34871
This theorem is referenced by:  isat3  34912  cvlcvr1  34944
  Copyright terms: Public domain W3C validator