Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrlt 35078
Description: The covers relation implies the less-than relation. (cvpss 29474 analog.) (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrfval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrfval.s < = (lt‘𝐾)
cvrfval.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrlt (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem cvrlt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvrfval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrfval.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 cvrfval.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrval 35077 . 2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
54simprbda 654 1 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16079  ltcplt 17162  ccvr 35070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-covers 35074
This theorem is referenced by:  ncvr1  35080  cvrletrN  35081  cvrnbtwn2  35083  cvrnbtwn3  35084  cvrle  35086  cvrnle  35088  cvrne  35089  0ltat  35099  atlen0  35118  atcvreq0  35122  cvlcvr1  35147  cvrval3  35220  cvrval4N  35221  cvrexchlem  35226  ltcvrntr  35231  cvrntr  35232  cvrat2  35236  atltcvr  35242  1cvratex  35280  ps-2  35285  llnnleat  35320  lplnnle2at  35348  lvolnle3at  35389  lhp0lt  35810
  Copyright terms: Public domain W3C validator