Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftpht Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftpht 31628
Description: If 𝐺 and 𝐻 are path-homotopic, then their lifts 𝑀 and 𝑁 are also path-homotopic. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftpht.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftpht.m 𝑀 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmliftpht.n 𝑁 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐻 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmliftpht.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftpht.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftpht.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftpht.g (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐻)
Assertion
Ref Expression
cvmliftpht (𝜑𝑀( ≃ph𝐶)𝑁)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐽   𝐶,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝐻   𝑃,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem cvmliftpht
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftpht.b . . . 4 𝐵 = 𝐶
2 cvmliftpht.m . . . 4 𝑀 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
3 cvmliftpht.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4 cvmliftpht.g . . . . . 6 (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐻)
5 isphtpc 23014 . . . . . 6 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐻 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
64, 5sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
76simp1d 1137 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
8 cvmliftpht.p . . . 4 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmliftpht.e . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
101, 2, 3, 7, 8, 9cvmliftiota 31611 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝑀) = 𝐺 ∧ (𝑀‘0) = 𝑃))
1110simp1d 1137 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (II Cn 𝐶))
12 cvmliftpht.n . . . 4 𝑁 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐻 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
136simp2d 1138 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
14 phtpc01 23016 . . . . . . 7 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐻 → ((𝐺‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐻‘1)))
154, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐻‘1)))
1615simpld 477 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘0) = (𝐻‘0))
179, 16eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐻‘0))
181, 12, 3, 13, 8, 17cvmliftiota 31611 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝑁) = 𝐻 ∧ (𝑁‘0) = 𝑃))
1918simp1d 1137 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (II Cn 𝐶))
206simp3d 1139 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅)
21 n0 4074 . . . 4 ((𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
2220, 21sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
233adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
247, 13phtpycn 23003 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
2524sselda 3744 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
268adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝑃𝐵)
279adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
28 0elunit 12503 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]1)
297adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3013adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
31 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
3229, 30, 31phtpyi 23004 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑔0) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑔0) = (𝐺‘1)))
3328, 32mpan2 709 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → ((0𝑔0) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑔0) = (𝐺‘1)))
3433simpld 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (0𝑔0) = (𝐺‘0))
3527, 34eqtr4d 2797 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (𝐹𝑃) = (0𝑔0))
361, 23, 25, 26, 35cvmlift2 31626 . . . . 5 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → ∃! ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))
37 reurex 3299 . . . . 5 (∃! ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃) → ∃ ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → ∃ ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))
393ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
408ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝑃𝐵)
419ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
427ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4313ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
44 simplr 809 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
45 simprl 811 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
46 simprrl 823 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (𝐹) = 𝑔)
47 simprrr 824 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (00) = 𝑃)
481, 2, 12, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47cvmliftphtlem 31627 . . . . 5 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → ∈ (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁))
49 ne0i 4064 . . . . 5 ( ∈ (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
5048, 49syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
5138, 50rexlimddv 3173 . . 3 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
5222, 51exlimddv 2012 . 2 (𝜑 → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
53 isphtpc 23014 . 2 (𝑀( ≃ph𝐶)𝑁 ↔ (𝑀 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ 𝑁 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅))
5411, 19, 52, 53syl3anbrc 1429 1 (𝜑𝑀( ≃ph𝐶)𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  ∃!wreu 3052  c0 4058   cuni 4588   class class class wbr 4804  ccom 5270  cfv 6049  crio 6774  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149  [,]cicc 12391   Cn ccn 21250   ×t ctx 21585  IIcii 22899  PHtpycphtpy 22988  phcphtpc 22989   CovMap ccvm 31565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-ec 7915  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-cmp 21412  df-conn 21437  df-lly 21491  df-nlly 21492  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-ii 22901  df-htpy 22990  df-phtpy 22991  df-phtpc 23012  df-pconn 31531  df-sconn 31532  df-cvm 31566
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem1  31629
  Copyright terms: Public domain W3C validator