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Theorem cvmliftmolem1 31591
Description: Lemma for cvmliftmo 31594. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftmo.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftmo.y 𝑌 = 𝐾
cvmliftmo.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftmo.k (𝜑𝐾 ∈ Conn)
cvmliftmo.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn)
cvmliftmo.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmliftmoi.m (𝜑𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
cvmliftmoi.n (𝜑𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
cvmliftmoi.g (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
cvmliftmoi.p (𝜑 → (𝑀𝑂) = (𝑁𝑂))
cvmliftmolem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftmolem.2 ((𝜑𝜓) → 𝑇 ∈ (𝑆𝑈))
cvmliftmolem.3 ((𝜑𝜓) → 𝑊𝑇)
cvmliftmolem.4 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑀𝑊))
cvmliftmolem.5 ((𝜑𝜓) → (𝐾t 𝐼) ∈ Conn)
cvmliftmolem.6 ((𝜑𝜓) → 𝑋𝐼)
cvmliftmolem.7 ((𝜑𝜓) → 𝑄𝐼)
cvmliftmolem.8 ((𝜑𝜓) → 𝑅𝐼)
cvmliftmolem.9 ((𝜑𝜓) → (𝐹‘(𝑀𝑋)) ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
cvmliftmolem1 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ dom (𝑀𝑁) → 𝑅 ∈ dom (𝑀𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐶   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣   𝑣,𝐵   𝐾,𝑠   𝑘,𝑀,𝑠,𝑢,𝑣   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣   𝑆,𝑠   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑠,𝑢,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣   𝑌,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝜓(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑘,𝑠)   𝑄(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑅(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐼(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑁(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑂(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑊(𝑘,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑌(𝑣,𝑢,𝑘)

Proof of Theorem cvmliftmolem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftmoi.g . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
21adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
32fveq1d 6355 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = ((𝐹𝑁)‘𝑅))
4 cvmliftmolem.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑀𝑊))
5 cvmliftmolem.8 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝑅𝐼)
64, 5sseldd 3745 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 𝑅 ∈ (𝑀𝑊))
7 cvmliftmoi.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
8 cvmliftmo.y . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑌 = 𝐾
9 cvmliftmo.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = 𝐶
108, 9cnf 21272 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) → 𝑀:𝑌𝐵)
117, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀:𝑌𝐵)
12 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀:𝑌𝐵𝑀 Fn 𝑌)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 Fn 𝑌)
14 elpreima 6501 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 Fn 𝑌 → (𝑅 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑅𝑌 ∧ (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑅𝑌 ∧ (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)))
1615simprbda 654 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 ∈ (𝑀𝑊)) → 𝑅𝑌)
176, 16syldan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → 𝑅𝑌)
18 fvco3 6438 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:𝑌𝐵𝑅𝑌) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
1911, 18sylan 489 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅𝑌) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
2017, 19syldan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
21 cvmliftmoi.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
228, 9cnf 21272 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) → 𝑁:𝑌𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁:𝑌𝐵)
24 fvco3 6438 . . . . . . . . . 10 ((𝑁:𝑌𝐵𝑅𝑌) → ((𝐹𝑁)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2523, 24sylan 489 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅𝑌) → ((𝐹𝑁)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2617, 25syldan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑁)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
273, 20, 263eqtr3d 2802 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝐹‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2827adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝐹‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2915simplbda 655 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 ∈ (𝑀𝑊)) → (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)
306, 29syldan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)
3130adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)
32 fvres 6369 . . . . . . 7 ((𝑀𝑅) ∈ 𝑊 → ((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
345adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑅𝐼)
35 fvres 6369 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐼 → ((𝑁𝐼)‘𝑅) = (𝑁𝑅))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑅) = (𝑁𝑅))
37 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (𝐾t 𝐼) = (𝐾t 𝐼)
38 cvmliftmolem.5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (𝐾t 𝐼) ∈ Conn)
3938adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝐾t 𝐼) ∈ Conn)
4021adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
41 cnvimass 5643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀𝑊) ⊆ dom 𝑀
42 fdm 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀:𝑌𝐵 → dom 𝑀 = 𝑌)
4311, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝑀 = 𝑌)
4441, 43syl5sseq 3794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀𝑊) ⊆ 𝑌)
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑊) ⊆ 𝑌)
464, 45sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐼𝑌)
478cnrest 21311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ∧ 𝐼𝑌) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶))
4840, 46, 47syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶))
49 cvmliftmo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
51 cvmtop1 31570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ Top)
539toptopon 20944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
5452, 53sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
55 df-ima 5279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝐼) = ran (𝑁𝐼)
56 cvmliftmolem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝜓) → 𝑊𝑇)
57 elssuni 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊𝑇𝑊 𝑇)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → 𝑊 𝑇)
59 cvmliftmolem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝜓) → 𝑇 ∈ (𝑆𝑈))
60 cvmliftmolem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
6160cvmsuni 31579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇 ∈ (𝑆𝑈) → 𝑇 = (𝐹𝑈))
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → 𝑇 = (𝐹𝑈))
6358, 62sseqtrd 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (𝐹𝑈))
64 imass2 5659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ⊆ (𝐹𝑈) → (𝑀𝑊) ⊆ (𝑀 “ (𝐹𝑈)))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑊) ⊆ (𝑀 “ (𝐹𝑈)))
664, 65sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑀 “ (𝐹𝑈)))
672cnveqd 5453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
68 cnvco 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹𝑀) = (𝑀𝐹)
69 cnvco 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹𝑁) = (𝑁𝐹)
7067, 68, 693eqtr3g 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝐹) = (𝑁𝐹))
7170imaeq1d 5623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → ((𝑀𝐹) “ 𝑈) = ((𝑁𝐹) “ 𝑈))
72 imaco 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀𝐹) “ 𝑈) = (𝑀 “ (𝐹𝑈))
73 imaco 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁𝐹) “ 𝑈) = (𝑁 “ (𝐹𝑈))
7471, 72, 733eqtr3g 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (𝑀 “ (𝐹𝑈)) = (𝑁 “ (𝐹𝑈)))
7566, 74sseqtrd 3782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑁 “ (𝐹𝑈)))
7623adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → 𝑁:𝑌𝐵)
77 ffun 6209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁:𝑌𝐵 → Fun 𝑁)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → Fun 𝑁)
79 fdm 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁:𝑌𝐵 → dom 𝑁 = 𝑌)
8076, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → dom 𝑁 = 𝑌)
8146, 80sseqtr4d 3783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ dom 𝑁)
82 funimass3 6497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝑁𝐼 ⊆ dom 𝑁) → ((𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈) ↔ 𝐼 ⊆ (𝑁 “ (𝐹𝑈))))
8378, 81, 82syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → ((𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈) ↔ 𝐼 ⊆ (𝑁 “ (𝐹𝑈))))
8475, 83mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈))
8555, 84syl5eqssr 3791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ran (𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈))
86 cnvimass 5643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝑈) ⊆ dom 𝐹
87 cvmcn 31572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
8849, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
89 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = 𝐽
909, 89cnf 21272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
9188, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐵 𝐽)
92 fdm 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝐵 𝐽 → dom 𝐹 = 𝐵)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
9493adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → dom 𝐹 = 𝐵)
9586, 94syl5sseq 3794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑈) ⊆ 𝐵)
96 cnrest2 21312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑈) ⊆ 𝐵) → ((𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶) ↔ (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈)))))
9754, 85, 95, 96syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶) ↔ (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈)))))
9848, 97mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈))))
9998adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈))))
100 df-ss 3729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ⊆ (𝐹𝑈) ↔ (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) = 𝑊)
10163, 100sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) = 𝑊)
1029topopn 20933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ Top → 𝐵𝐶)
10352, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝐵𝐶)
104103, 95ssexd 4957 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑈) ∈ V)
10560cvmsss 31577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (𝑆𝑈) → 𝑇𝐶)
10659, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑇𝐶)
107106, 56sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑊𝐶)
108 elrestr 16311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ Top ∧ (𝐹𝑈) ∈ V ∧ 𝑊𝐶) → (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
10952, 104, 107, 108syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
110101, 109eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
111110adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
11260cvmscld 31583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (𝑆𝑈) ∧ 𝑊𝑇) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑈))))
11350, 59, 56, 112syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑈))))
114113adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑈))))
115 cvmliftmolem.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝑄𝐼)
116 cvmliftmo.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ Conn)
117 conntop 21442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Top)
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ∈ Top)
119118adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐾 ∈ Top)
1208restuni 21188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐼𝑌) → 𝐼 = (𝐾t 𝐼))
121119, 46, 120syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝐼 = (𝐾t 𝐼))
122115, 121eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑄 (𝐾t 𝐼))
123122adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑄 (𝐾t 𝐼))
124115adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑄𝐼)
125 fvres 6369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄𝐼 → ((𝑁𝐼)‘𝑄) = (𝑁𝑄))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑄) = (𝑁𝑄))
127 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄))
1284, 115sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑄 ∈ (𝑀𝑊))
129 elpreima 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 Fn 𝑌 → (𝑄 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑄𝑌 ∧ (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)))
13013, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑄𝑌 ∧ (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)))
131130simplbda 655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑄 ∈ (𝑀𝑊)) → (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)
132128, 131syldan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)
133132adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)
134127, 133eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝑄) ∈ 𝑊)
135126, 134eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑄) ∈ 𝑊)
13637, 39, 99, 111, 114, 123, 135conncn 21451 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝐼): (𝐾t 𝐼)⟶𝑊)
137121adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝐼 = (𝐾t 𝐼))
138137feq2d 6192 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼):𝐼𝑊 ↔ (𝑁𝐼): (𝐾t 𝐼)⟶𝑊))
139136, 138mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝐼):𝐼𝑊)
140139, 34ffvelrnd 6524 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑅) ∈ 𝑊)
14136, 140eqeltrrd 2840 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝑅) ∈ 𝑊)
142 fvres 6369 . . . . . . 7 ((𝑁𝑅) ∈ 𝑊 → ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
143141, 142syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
14428, 33, 1433eqtr4d 2804 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)))
14560cvmsf1o 31582 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (𝑆𝑈) ∧ 𝑊𝑇) → (𝐹𝑊):𝑊1-1-onto𝑈)
14650, 59, 56, 145syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑊):𝑊1-1-onto𝑈)
147 f1of1 6298 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑊):𝑊1-1-onto𝑈 → (𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈)
148146, 147syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈)
149148adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈)
150 f1fveq 6683 . . . . . 6 (((𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈 ∧ ((𝑀𝑅) ∈ 𝑊 ∧ (𝑁𝑅) ∈ 𝑊)) → (((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
151149, 31, 141, 150syl12anc 1475 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
152144, 151mpbid 222 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅))
153152ex 449 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑀𝑄) = (𝑁𝑄) → (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
154130simprbda 654 . . . . 5 ((𝜑𝑄 ∈ (𝑀𝑊)) → 𝑄𝑌)
155128, 154syldan 488 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑄𝑌)
156 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑄 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑄))
157 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑄 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑄))
158156, 157eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝑥 = 𝑄 → ((𝑀𝑥) = (𝑁𝑥) ↔ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)))
159158elrab3 3505 . . . 4 (𝑄𝑌 → (𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)))
160155, 159syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)))
161 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑅))
162 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑅))
163161, 162eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑀𝑥) = (𝑁𝑥) ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
164163elrab3 3505 . . . 4 (𝑅𝑌 → (𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
16517, 164syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
166153, 160, 1653imtr4d 283 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} → 𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)}))
167 ffn 6206 . . . . . 6 (𝑁:𝑌𝐵𝑁 Fn 𝑌)
16823, 167syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 Fn 𝑌)
169 fndmin 6488 . . . . 5 ((𝑀 Fn 𝑌𝑁 Fn 𝑌) → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
17013, 168, 169syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
171170adantr 472 . . 3 ((𝜑𝜓) → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
172171eleq2d 2825 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)}))
173171eleq2d 2825 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑅 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)}))
174166, 172, 1733imtr4d 283 1 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ dom (𝑀𝑁) → 𝑅 ∈ dom (𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   cuni 4588  cmpt 4881  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  ccom 5270  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  wf 6045  1-1wf1 6046  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814  t crest 16303  Topctop 20920  TopOnctopon 20937  Clsdccld 21042   Cn ccn 21250  Conncconn 21436  𝑛-Locally cnlly 21490  Homeochmeo 21778   CovMap ccvm 31565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-fin 8127  df-fi 8484  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cld 21045  df-cn 21253  df-conn 21437  df-hmeo 21780  df-cvm 31566
This theorem is referenced by:  cvmliftmolem2  31592
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