Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem4 31598
Description: Lemma for cvmlift 31609. The function 𝑄 will be our lifted path, defined piecewise on each section [(𝑀 − 1) / 𝑁, 𝑀 / 𝑁] for 𝑀 ∈ (1...𝑁). For 𝑀 = 0, it is a "seed" value which makes the rest of the recursion work, a singleton function mapping 0 to 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem4 (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem4
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.q . . . . 5 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
21fveq1i 6354 . . . 4 (𝑄‘0) = (seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))‘0)
3 0z 11600 . . . . 5 0 ∈ ℤ
4 seq1 13028 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))‘0) = ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))‘0) = ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0)
62, 5eqtri 2782 . . 3 (𝑄‘0) = ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0)
7 fnresi 6169 . . . 4 ( I ↾ ℕ) Fn ℕ
8 c0ex 10246 . . . . 5 0 ∈ V
9 snex 5057 . . . . 5 {⟨0, 𝑃⟩} ∈ V
108, 9fnsn 6107 . . . 4 {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩} Fn {0}
11 0nnn 11264 . . . . . 6 ¬ 0 ∈ ℕ
12 disjsn 4390 . . . . . 6 ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ ℕ)
1311, 12mpbir 221 . . . . 5 (ℕ ∩ {0}) = ∅
148snid 4353 . . . . 5 0 ∈ {0}
1513, 14pm3.2i 470 . . . 4 ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0})
16 fvun2 6433 . . . 4 ((( I ↾ ℕ) Fn ℕ ∧ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩} Fn {0} ∧ ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0})) → ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0) = ({⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}‘0))
177, 10, 15, 16mp3an 1573 . . 3 ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0) = ({⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}‘0)
186, 17eqtri 2782 . 2 (𝑄‘0) = ({⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}‘0)
198, 9fvsn 6611 . 2 ({⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
2018, 19eqtri 2782 1 (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  cdif 3712  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  cop 4327   cuni 4588   ciun 4672  cmpt 4881   I cid 5173   × cxp 5264  ccnv 5265  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  crio 6774  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  1st c1st 7332  2nd c2nd 7333  0cc0 10148  1c1 10149  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  cz 11589  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391  ...cfz 12539  seqcseq 13015  t crest 16303  topGenctg 16320   Cn ccn 21250  Homeochmeo 21778  IIcii 22899   CovMap ccvm 31565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-seq 13016
This theorem is referenced by:  cvmliftlem7  31601  cvmliftlem13  31606
  Copyright terms: Public domain W3C validator