Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem3 31395
Description: Lemma for cvmlift 31407. Since 1st ‘(𝑇𝑀) is a neighborhood of (𝐺𝑊), every element 𝐴𝑊 satisfies (𝐺𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem1.m ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
cvmliftlem3.m ((𝜑𝜓) → 𝐴𝑊)
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem3 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘,𝑢,𝑣   𝐶,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝜑,𝑗,𝑠   𝑘,𝑁,𝑢,𝑣   𝑆,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝐽,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝜓(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐴(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑗,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmliftlem3
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem1.m . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
2 cvmliftlem.a . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
32adantr 480 . . 3 ((𝜑𝜓) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
4 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 − 1) = (𝑀 − 1))
54oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘 − 1) / 𝑁) = ((𝑀 − 1) / 𝑁))
6 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 / 𝑁) = (𝑀 / 𝑁))
75, 6oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
8 cvmliftlem3.3 . . . . . . 7 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
97, 8syl6eqr 2703 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁)) = 𝑊)
109imaeq2d 5501 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) = (𝐺𝑊))
11 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑀))
1211fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (1st ‘(𝑇𝑘)) = (1st ‘(𝑇𝑀)))
1310, 12sseq12d 3667 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)) ↔ (𝐺𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑀))))
1413rspcv 3336 . . 3 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)) → (𝐺𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑀))))
151, 3, 14sylc 65 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝑊) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑀)))
16 cvmliftlem3.m . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝐴𝑊)
17 cvmliftlem.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
18 iiuni 22731 . . . . . . . 8 (0[,]1) = II
19 cvmliftlem.x . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
2018, 19cnf 21098 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
2117, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
23 ffun 6086 . . . . 5 (𝐺:(0[,]1)⟶𝑋 → Fun 𝐺)
2422, 23syl 17 . . . 4 ((𝜑𝜓) → Fun 𝐺)
25 cvmliftlem.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
26 cvmliftlem.b . . . . . 6 𝐵 = 𝐶
27 cvmliftlem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
28 cvmliftlem.p . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐵)
29 cvmliftlem.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
30 cvmliftlem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
31 cvmliftlem.t . . . . . 6 (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
32 cvmliftlem.l . . . . . 6 𝐿 = (topGen‘ran (,))
3325, 26, 19, 27, 17, 28, 29, 30, 31, 2, 32, 1, 8cvmliftlem2 31394 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
34 fdm 6089 . . . . . 6 (𝐺:(0[,]1)⟶𝑋 → dom 𝐺 = (0[,]1))
3522, 34syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → dom 𝐺 = (0[,]1))
3633, 35sseqtr4d 3675 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ dom 𝐺)
37 funfvima2 6533 . . . 4 ((Fun 𝐺𝑊 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴𝑊 → (𝐺𝐴) ∈ (𝐺𝑊)))
3824, 36, 37syl2anc 694 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐴𝑊 → (𝐺𝐴) ∈ (𝐺𝑊)))
3916, 38mpd 15 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝐴) ∈ (𝐺𝑊))
4015, 39sseldd 3637 1 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝐴) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   cuni 4468   ciun 4552  cmpt 4762   × cxp 5141  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146  Fun wfun 5920  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  1st c1st 7208  0cc0 9974  1c1 9975  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  t crest 16128  topGenctg 16145   Cn ccn 21076  Homeochmeo 21604  IIcii 22725   CovMap ccvm 31363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cn 21079  df-ii 22727
This theorem is referenced by:  cvmliftlem6  31398  cvmliftlem8  31400  cvmliftlem9  31401
  Copyright terms: Public domain W3C validator