Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem2 31596
Description: Lemma for cvmlift 31609. 𝑊 = [(𝑘 − 1) / 𝑁, 𝑘 / 𝑁] is a subset of [0, 1] for each 𝑀 ∈ (1...𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem1.m ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem3.3 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem2 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑃,𝑘,𝑢,𝑣   𝐶,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝜑,𝑗,𝑠   𝑘,𝑁,𝑢,𝑣   𝑆,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝑋   𝑗,𝐺,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑗,𝐽,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝜓(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑗,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmliftlem2
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem3.3 . 2 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
2 0red 10253 . . 3 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 10267 . . 3 ((𝜑𝜓) → 1 ∈ ℝ)
4 cvmliftlem1.m . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
5 elfznn 12583 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
76nnred 11247 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 peano2rem 10560 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
10 nnm1nn0 11546 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
116, 10syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1211nn0ge0d 11566 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ (𝑀 − 1))
13 cvmliftlem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1413adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ ℕ)
1514nnred 11247 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ ℝ)
1614nngt0d 11276 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 0 < 𝑁)
17 divge0 11104 . . . 4 ((((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁))
189, 12, 15, 16, 17syl22anc 1478 . . 3 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁))
19 elfzle2 12558 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀𝑁)
204, 19syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀𝑁)
2114nncnd 11248 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ ℂ)
2221mulid1d 10269 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
2320, 22breqtrrd 4832 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ≤ (𝑁 · 1))
24 ledivmul 11111 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑀 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 · 1)))
257, 3, 15, 16, 24syl112anc 1481 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 𝑁) ≤ 1 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 · 1)))
2623, 25mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 𝑁) ≤ 1)
27 iccss 12454 . . 3 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) ≤ 1)) → (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ⊆ (0[,]1))
282, 3, 18, 26, 27syl22anc 1478 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ⊆ (0[,]1))
291, 28syl5eqss 3790 1 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   cuni 4588   ciun 4672   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264  ccnv 5265  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  1st c1st 7332  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  0cn0 11504  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391  ...cfz 12539  t crest 16303  topGenctg 16320   Cn ccn 21250  Homeochmeo 21778  IIcii 22899   CovMap ccvm 31565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-icc 12395  df-fz 12540
This theorem is referenced by:  cvmliftlem3  31597  cvmliftlem6  31600  cvmliftlem8  31602
  Copyright terms: Public domain W3C validator