Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftiota Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftiota 31638
Description: Write out a function 𝐻 that is the unique lift of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftiota.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftiota.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmliftiota.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftiota.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftiota.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftiota.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
Assertion
Ref Expression
cvmliftiota (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑃,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐽(𝑓)

Proof of Theorem cvmliftiota
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftiota.h . . . 4 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
2 coeq2 5431 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → (𝐹𝑓) = (𝐹𝑔))
32eqeq1d 2776 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → ((𝐹𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹𝑔) = 𝐺))
4 fveq1 6347 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘0) = (𝑔‘0))
54eqeq1d 2776 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘0) = 𝑃))
63, 5anbi12d 617 . . . . 5 (𝑓 = 𝑔 → (((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
76cbvriotav 6784 . . . 4 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃)) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
81, 7eqtri 2796 . . 3 𝐻 = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
9 cvmliftiota.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
10 cvmliftiota.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
11 cvmliftiota.p . . . . 5 (𝜑𝑃𝐵)
12 cvmliftiota.e . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
13 cvmliftiota.b . . . . . 6 𝐵 = 𝐶
1413cvmlift 31636 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))) → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
159, 10, 11, 12, 14syl22anc 856 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
16 riotacl2 6786 . . . 4 (∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) ∈ {𝑔 ∈ (II Cn 𝐶) ∣ ((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)})
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) ∈ {𝑔 ∈ (II Cn 𝐶) ∣ ((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)})
188, 17syl5eqel 2857 . 2 (𝜑𝐻 ∈ {𝑔 ∈ (II Cn 𝐶) ∣ ((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)})
19 coeq2 5431 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐻 → (𝐹𝑔) = (𝐹𝐻))
2019eqeq1d 2776 . . . . 5 (𝑔 = 𝐻 → ((𝐹𝑔) = 𝐺 ↔ (𝐹𝐻) = 𝐺))
21 fveq1 6347 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐻 → (𝑔‘0) = (𝐻‘0))
2221eqeq1d 2776 . . . . 5 (𝑔 = 𝐻 → ((𝑔‘0) = 𝑃 ↔ (𝐻‘0) = 𝑃))
2320, 22anbi12d 617 . . . 4 (𝑔 = 𝐻 → (((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘0) = 𝑃)))
2423elrab 3521 . . 3 (𝐻 ∈ {𝑔 ∈ (II Cn 𝐶) ∣ ((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)} ↔ (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ ((𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘0) = 𝑃)))
25 3anass 1107 . . 3 ((𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘0) = 𝑃) ↔ (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ ((𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘0) = 𝑃)))
2624, 25bitr4i 268 . 2 (𝐻 ∈ {𝑔 ∈ (II Cn 𝐶) ∣ ((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)} ↔ (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
2718, 26sylib 209 1 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1098   = wceq 1634  wcel 2148  ∃!wreu 3066  {crab 3068   cuni 4585  ccom 5267  cfv 6042  crio 6772  (class class class)co 6812  0cc0 10159   Cn ccn 21269  IIcii 22918   CovMap ccvm 31592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-pre-sup 10237  ax-addf 10238  ax-mulf 10239
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-fal 1640  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-iin 4668  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-se 5223  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-isom 6051  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-of 7065  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-supp 7468  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-2o 7735  df-oadd 7738  df-er 7917  df-ec 7919  df-map 8032  df-ixp 8084  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-fsupp 8453  df-fi 8494  df-sup 8525  df-inf 8526  df-oi 8592  df-card 8986  df-cda 9213  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-7 11307  df-8 11308  df-9 11309  df-n0 11517  df-z 11602  df-dec 11718  df-uz 11911  df-q 12014  df-rp 12053  df-xneg 12168  df-xadd 12169  df-xmul 12170  df-ioo 12403  df-ico 12405  df-icc 12406  df-fz 12556  df-fzo 12696  df-fl 12823  df-seq 13031  df-exp 13090  df-hash 13344  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-clim 14449  df-sum 14647  df-struct 16086  df-ndx 16087  df-slot 16088  df-base 16090  df-sets 16091  df-ress 16092  df-plusg 16182  df-mulr 16183  df-starv 16184  df-sca 16185  df-vsca 16186  df-ip 16187  df-tset 16188  df-ple 16189  df-ds 16192  df-unif 16193  df-hom 16194  df-cco 16195  df-rest 16311  df-topn 16312  df-0g 16330  df-gsum 16331  df-topgen 16332  df-pt 16333  df-prds 16336  df-xrs 16390  df-qtop 16395  df-imas 16396  df-xps 16398  df-mre 16474  df-mrc 16475  df-acs 16477  df-mgm 17470  df-sgrp 17512  df-mnd 17523  df-submnd 17564  df-mulg 17769  df-cntz 17977  df-cmn 18422  df-psmet 19973  df-xmet 19974  df-met 19975  df-bl 19976  df-mopn 19977  df-cnfld 19982  df-top 20939  df-topon 20956  df-topsp 20978  df-bases 20991  df-cld 21064  df-ntr 21065  df-cls 21066  df-nei 21143  df-cn 21272  df-cnp 21273  df-cmp 21431  df-conn 21456  df-lly 21510  df-nlly 21511  df-tx 21606  df-hmeo 21799  df-xms 22365  df-ms 22366  df-tms 22367  df-ii 22920  df-htpy 23009  df-phtpy 23010  df-phtpc 23031  df-pconn 31558  df-sconn 31559  df-cvm 31593
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem2  31641  cvmlift2lem3  31642  cvmliftphtlem  31654  cvmliftpht  31655  cvmlift3lem2  31657  cvmlift3lem4  31659  cvmlift3lem5  31660  cvmlift3lem6  31661
  Copyright terms: Public domain W3C validator