Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem9 31435
Description: Lemma for cvmlift2 31424. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift3.y 𝑌 = 𝐾
cvmlift3.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (𝜑𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmlift3.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift3.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
cvmlift3.h 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem9 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓𝑂) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑘,𝑠,𝑐)   𝑃(𝑘,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑂(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑌(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem9
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . 3 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift3.y . . 3 𝑌 = 𝐾
3 cvmlift3.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4 cvmlift3.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ SConn)
5 cvmlift3.l . . 3 (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6 cvmlift3.o . . 3 (𝜑𝑂𝑌)
7 cvmlift3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8 cvmlift3.p . . 3 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmlift3.e . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
10 cvmlift3.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
11 cvmlift3lem7.s . . 3 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem8 31434 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem5 31431 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻) = 𝐺)
14 iitopon 22729 . . . . . 6 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
16 sconntop 31336 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Top)
182toptopon 20770 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1917, 18sylib 208 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
20 cnconst2 21135 . . . . 5 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑂𝑌) → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
2115, 19, 6, 20syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
22 0elunit 12328 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
23 fvconst2g 6508 . . . . 5 ((𝑂𝑌 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
246, 22, 23sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
25 1elunit 12329 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
26 fvconst2g 6508 . . . . 5 ((𝑂𝑌 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
276, 25, 26sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
289sneqd 4222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {(𝐹𝑃)} = {(𝐺𝑂)})
2928xpeq2d 5173 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹𝑃)}) = ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}))
30 cvmcn 31370 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
31 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
321, 31cnf 21098 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
33 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐵 𝐽𝐹 Fn 𝐵)
343, 30, 32, 334syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
35 fcoconst 6441 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐵𝑃𝐵) → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹𝑃)}))
3634, 8, 35syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹𝑃)}))
372, 31cnf 21098 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌 𝐽)
387, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:𝑌 𝐽)
39 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (𝐺:𝑌 𝐽𝐺 Fn 𝑌)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Fn 𝑌)
41 fcoconst 6441 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 𝑌𝑂𝑌) → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}))
4240, 6, 41syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}))
4329, 36, 423eqtr4d 2695 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
44 fvconst2g 6508 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐵 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
458, 22, 44sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
46 cvmtop1 31368 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
473, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ Top)
481toptopon 20770 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
4947, 48sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
50 cnconst2 21135 . . . . . . . . 9 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃𝐵) → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
5115, 49, 8, 50syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
52 cvmtop2 31369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
533, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ Top)
5431toptopon 20770 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
5553, 54sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
5638, 6ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑂) ∈ 𝐽)
57 cnconst2 21135 . . . . . . . . . . 11 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ (𝐺𝑂) ∈ 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
5815, 55, 56, 57syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
5942, 58eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽))
60 fvconst2g 6508 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑂) ∈ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐺𝑂)})‘0) = (𝐺𝑂))
6156, 22, 60sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((0[,]1) × {(𝐺𝑂)})‘0) = (𝐺𝑂))
6242fveq1d 6231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0) = (((0[,]1) × {(𝐺𝑂)})‘0))
6361, 62, 93eqtr4rd 2696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))
641cvmlift 31407 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝐹𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))) → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
653, 59, 8, 63, 64syl22anc 1367 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
66 coeq2 5313 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝐹𝑔) = (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})))
6766eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ↔ (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
68 fveq1 6228 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝑔‘0) = (((0[,]1) × {𝑃})‘0))
6968eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝑔‘0) = 𝑃 ↔ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃))
7067, 69anbi12d 747 . . . . . . . . 9 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)))
7170riota2 6673 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
7251, 65, 71syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
7343, 45, 72mpbi2and 976 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃}))
7473fveq1d 6231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (((0[,]1) × {𝑃})‘1))
75 fvconst2g 6508 . . . . . 6 ((𝑃𝐵 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
768, 25, 75sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
7774, 76eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)
78 fveq1 6228 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘0) = (((0[,]1) × {𝑂})‘0))
7978eqeq1d 2653 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘0) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂))
80 fveq1 6228 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘1) = (((0[,]1) × {𝑂})‘1))
8180eqeq1d 2653 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘1) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂))
82 coeq2 5313 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝐺𝑓) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
8382eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ↔ (𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
8483anbi1d 741 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
8584riotabidv 6653 . . . . . . . 8 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
8685fveq1d 6231 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1))
8786eqeq1d 2653 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃 ↔ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
8879, 81, 873anbi123d 1439 . . . . 5 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃) ↔ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
8988rspcev 3340 . . . 4 ((((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
9021, 24, 27, 77, 89syl13anc 1368 . . 3 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
911, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem4 31430 . . . 4 ((𝜑𝑂𝑌) → ((𝐻𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
926, 91mpdan 703 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
9390, 92mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑂) = 𝑃)
94 coeq2 5313 . . . . 5 (𝑓 = 𝐻 → (𝐹𝑓) = (𝐹𝐻))
9594eqeq1d 2653 . . . 4 (𝑓 = 𝐻 → ((𝐹𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹𝐻) = 𝐺))
96 fveq1 6228 . . . . 5 (𝑓 = 𝐻 → (𝑓𝑂) = (𝐻𝑂))
9796eqeq1d 2653 . . . 4 (𝑓 = 𝐻 → ((𝑓𝑂) = 𝑃 ↔ (𝐻𝑂) = 𝑃))
9895, 97anbi12d 747 . . 3 (𝑓 = 𝐻 → (((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓𝑂) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻𝑂) = 𝑃)))
9998rspcev 3340 . 2 ((𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ∧ ((𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻𝑂) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓𝑂) = 𝑃))
10012, 13, 93, 99syl12anc 1364 1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓𝑂) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  ∃!wreu 2943  {crab 2945  cdif 3604  cin 3606  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   cuni 4468  cmpt 4762   × cxp 5141  ccnv 5142  cres 5145  cima 5146  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  crio 6650  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975  [,]cicc 12216  t crest 16128  Topctop 20746  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076  𝑛-Locally cnlly 21316  Homeochmeo 21604  IIcii 22725  PConncpconn 31327  SConncsconn 31328   CovMap ccvm 31363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-conn 21263  df-lly 21317  df-nlly 21318  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-ii 22727  df-htpy 22816  df-phtpy 22817  df-phtpc 22838  df-pco 22851  df-pconn 31329  df-sconn 31330  df-cvm 31364
This theorem is referenced by:  cvmlift3  31436
  Copyright terms: Public domain W3C validator