Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem11 31421
Description: Lemma for cvmlift2 31424. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
cvmlift2.m 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
cvmlift2lem11.1 (𝜑𝑈 ∈ II)
cvmlift2lem11.2 (𝜑𝑉 ∈ II)
cvmlift2lem11.3 (𝜑𝑌𝑉)
cvmlift2lem11.4 (𝜑𝑍𝑉)
cvmlift2lem11.5 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem11 (𝜑 → ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑈,𝑧   𝑓,𝐺,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑉   𝑓,𝐻,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍   𝐶,𝑓,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑌,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑃(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑀(𝑤,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑤,𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem11
StepHypRef Expression
1 cvmlift2lem11.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ II)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑈 ∈ II)
3 elssuni 4499 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ II → 𝑈 II)
4 iiuni 22731 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
53, 4syl6sseqr 3685 . . . . . 6 (𝑈 ∈ II → 𝑈 ⊆ (0[,]1))
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑈 ⊆ (0[,]1))
7 cvmlift2lem11.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍𝑉)
8 cvmlift2lem11.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ II)
9 elunii 4473 . . . . . . . . 9 ((𝑍𝑉𝑉 ∈ II) → 𝑍 II)
109, 4syl6eleqr 2741 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑉𝑉 ∈ II) → 𝑍 ∈ (0[,]1))
117, 8, 10syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (0[,]1))
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑍 ∈ (0[,]1))
1312snssd 4372 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → {𝑍} ⊆ (0[,]1))
14 xpss12 5158 . . . . 5 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ {𝑍} ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
156, 13, 14syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
16 cvmlift2lem11.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑌𝑉)
18 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = 𝐶
19 cvmlift2.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
20 cvmlift2.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
21 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃𝐵)
22 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
23 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
24 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24cvmlift2lem5 31415 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
278adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑉 ∈ II)
28 elssuni 4499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 ∈ II → 𝑉 II)
2928, 4syl6sseqr 3685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ II → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
3130, 17sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑌 ∈ (0[,]1))
3231snssd 4372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → {𝑌} ⊆ (0[,]1))
33 xpss12 5158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ {𝑌} ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
346, 32, 33syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
3526, 34fssresd 6109 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})):(𝑈 × {𝑌})⟶𝐵)
3634adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
37 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌}))
38 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀)
39 cvmlift2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
4038, 39syl6sseq 3684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑌}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)})
41 ssrab 3713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)} ↔ ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)))
4241simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)} → ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
4443r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
45 iitopon 22729 . . . . . . . . . . . . . . 15 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
46 txtopon 21442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))) → (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))))
4745, 45, 46mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1)))
4847toponunii 20769 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
4948cnpresti 21140 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌}) ∧ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))
5036, 37, 44, 49syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))
5150ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))
52 resttopon 21013 . . . . . . . . . . . 12 (((II ×t II) ∈ (TopOn‘((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) ∈ (TopOn‘(𝑈 × {𝑌})))
5347, 34, 52sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) ∈ (TopOn‘(𝑈 × {𝑌})))
54 cvmtop1 31368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
5519, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ Top)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝐶 ∈ Top)
5718toptopon 20770 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
5856, 57sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
59 cncnp 21132 . . . . . . . . . . 11 ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) ∈ (TopOn‘(𝑈 × {𝑌})) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶) ↔ ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})):(𝑈 × {𝑌})⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))))
6053, 58, 59syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶) ↔ ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})):(𝑈 × {𝑌})⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑌})(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) CnP 𝐶)‘𝑧))))
6135, 51, 60mpbir2and 977 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶))
62 sneq 4220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → {𝑤} = {𝑌})
6362xpeq2d 5173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → (𝑈 × {𝑤}) = (𝑈 × {𝑌}))
6463reseq2d 5428 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑌 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) = (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})))
6563oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})))
6665oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑌 → (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) = (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶))
6764, 66eleq12d 2724 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑌 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶)))
6867rspcev 3340 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑉 ∧ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑌})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑌})) Cn 𝐶)) → ∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶))
6917, 61, 68syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶))
70 cvmlift2lem11.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶)))
7170imp 444 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑤𝑉 (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑤})) Cn 𝐶)) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
7269, 71syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
7372adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
747adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → 𝑍𝑉)
7574snssd 4372 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → {𝑍} ⊆ 𝑉)
76 xpss2 5162 . . . . . . . . 9 ({𝑍} ⊆ 𝑉 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
7775, 76syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
78 iitop 22730 . . . . . . . . . 10 II ∈ Top
7978, 78txtopi 21441 . . . . . . . . 9 (II ×t II) ∈ Top
80 xpss12 5158 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ 𝑉 ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
816, 30, 80syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
8248restuni 21014 . . . . . . . . 9 (((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → (𝑈 × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
8379, 81, 82sylancr 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
8477, 83sseqtrd 3674 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
8584sselda 3636 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝑧 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)))
86 eqid 2651 . . . . . . 7 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉))
8786cncnpi 21130 . . . . . 6 (((𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶) ∧ 𝑧 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉))) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧))
8873, 85, 87syl2anc 694 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧))
8979a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (II ×t II) ∈ Top)
9081adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
9178a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → II ∈ Top)
92 txopn 21453 . . . . . . . . . 10 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ (𝑈 ∈ II ∧ 𝑉 ∈ II)) → (𝑈 × 𝑉) ∈ (II ×t II))
9391, 91, 2, 27, 92syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × 𝑉) ∈ (II ×t II))
94 isopn3i 20934 . . . . . . . . 9 (((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × 𝑉) ∈ (II ×t II)) → ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)) = (𝑈 × 𝑉))
9579, 93, 94sylancr 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)) = (𝑈 × 𝑉))
9677, 95sseqtr4d 3675 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)))
9796sselda 3636 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝑧 ∈ ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)))
9825ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
9948, 18cnprest 21141 . . . . . 6 ((((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∧ (𝑧 ∈ ((int‘(II ×t II))‘(𝑈 × 𝑉)) ∧ 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)) → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧)))
10089, 90, 97, 98, 99syl22anc 1367 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) CnP 𝐶)‘𝑧)))
10188, 100mpbird 247 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑈 × {𝑍})) → 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
10215, 101ssrabdv 3714 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)})
103102, 39syl6sseqr 3685 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ 𝑀)
104103ex 449 1 (𝜑 → ((𝑈 × {𝑌}) ⊆ 𝑀 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  {csn 4210   cuni 4468  cmpt 4762   × cxp 5141  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  crio 6650  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  0cc0 9974  1c1 9975  [,]cicc 12216  t crest 16128  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  intcnt 20869   Cn ccn 21076   CnP ccnp 21077   ×t ctx 21411  IIcii 22725   CovMap ccvm 31363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-conn 21263  df-lly 21317  df-nlly 21318  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-ii 22727  df-htpy 22816  df-phtpy 22817  df-phtpc 22838  df-pconn 31329  df-sconn 31330  df-cvm 31364
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  31422
  Copyright terms: Public domain W3C validator