Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem10 31622
Description: Lemma for cvmlift2 31626. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
cvmlift2lem10.s 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmlift2lem10.1 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
cvmlift2lem10.2 (𝜑𝑌 ∈ (0[,]1))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem10 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑓,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐽,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐻,𝑐,𝑓,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑐,𝑑,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑌,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑐,𝑑,𝑓,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑢,𝑓,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑤,𝑠,𝑐,𝑑)   𝑆(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠,𝑑)   𝐻(𝑘,𝑠,𝑑)   𝐾(𝑘,𝑠)   𝑋(𝑠)   𝑌(𝑠)

Proof of Theorem cvmlift2lem10
Dummy variables 𝑏 𝑚 𝑎 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2 cvmlift2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
3 iitop 22904 . . . . . . 7 II ∈ Top
4 iiuni 22905 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
53, 3, 4, 4txunii 21618 . . . . . 6 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
6 eqid 2760 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
75, 6cnf 21272 . . . . 5 (𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) → 𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
9 cvmlift2lem10.1 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
10 cvmlift2lem10.2 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (0[,]1))
119, 10opelxpd 5306 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
128, 11ffvelrnd 6524 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝐽)
13 cvmlift2lem10.s . . . 4 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
1413, 6cvmcov 31573 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝐽) → ∃𝑚𝐽 ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚 ∧ (𝑆𝑚) ≠ ∅))
151, 12, 14syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ∃𝑚𝐽 ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚 ∧ (𝑆𝑚) ≠ ∅))
16 n0 4074 . . . . 5 ((𝑆𝑚) ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑚))
17 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ → (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝑎 × 𝑏)))
18 opelxp 5303 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝑎 × 𝑏) ↔ (𝑋𝑎𝑌𝑏))
1917, 18syl6bb 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ → (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ↔ (𝑋𝑎𝑌𝑏)))
2019anbi1d 743 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ → ((𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)) ↔ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))))
21202rexbidv 3195 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑋, 𝑌⟩ → (∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)) ↔ ∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))))
222adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
2313cvmsrcl 31574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (𝑆𝑚) → 𝑚𝐽)
2423ad2antll 767 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → 𝑚𝐽)
25 cnima 21291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) ∧ 𝑚𝐽) → (𝐺𝑚) ∈ (II ×t II))
2622, 24, 25syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (𝐺𝑚) ∈ (II ×t II))
27 eltx 21593 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) → ((𝐺𝑚) ∈ (II ×t II) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑚)∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))))
283, 3, 27mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑚) ∈ (II ×t II) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑚)∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)))
2926, 28sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑚)∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II (𝑧 ∈ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)))
3011adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
31 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚)
328adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → 𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽)
33 ffn 6206 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶ 𝐽𝐺 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)))
34 elpreima 6501 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐺𝑚) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚)))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐺𝑚) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚)))
3630, 31, 35mpbir2and 995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐺𝑚))
3721, 29, 36rspcdva 3455 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)))
38 iillysconn 31563 . . . . . . . . . . . . 13 II ∈ Locally SConn
39 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → 𝑎 ∈ II)
40 simprll 821 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → 𝑋𝑎)
41 llyi 21499 . . . . . . . . . . . . 13 ((II ∈ Locally SConn ∧ 𝑎 ∈ II ∧ 𝑋𝑎) → ∃𝑢 ∈ II (𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn))
4238, 39, 40, 41mp3an2i 1578 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → ∃𝑢 ∈ II (𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn))
43 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → 𝑏 ∈ II)
44 simprlr 822 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → 𝑌𝑏)
45 llyi 21499 . . . . . . . . . . . . 13 ((II ∈ Locally SConn ∧ 𝑏 ∈ II ∧ 𝑌𝑏) → ∃𝑣 ∈ II (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))
4638, 43, 44, 45mp3an2i 1578 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → ∃𝑣 ∈ II (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))
47 reeanv 3245 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) ↔ (∃𝑢 ∈ II (𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ ∃𝑣 ∈ II (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)))
48 simpl2 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → 𝑋𝑢)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → 𝑋𝑢))
50 simpr2 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → 𝑌𝑣)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → 𝑌𝑣))
52 simprl1 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → 𝑢𝑎)
53 simprr1 1273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → 𝑣𝑏)
54 xpss12 5281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑢𝑎𝑣𝑏) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝑎 × 𝑏))
5552, 53, 54syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝑎 × 𝑏))
56 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))
5755, 56sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) ∧ ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚))
5857ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)))
5949, 51, 583jcad 1124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚))))
60 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) → (II ↾t 𝑢) ∈ SConn)
61 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn) → (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)
6260, 61anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))
6359, 62jca2 557 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6463reximdv 3154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (∃𝑣 ∈ II ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6564reximdv 3154 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → (∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6647, 65syl5bir 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → ((∃𝑢 ∈ II (𝑢𝑎𝑋𝑢 ∧ (II ↾t 𝑢) ∈ SConn) ∧ ∃𝑣 ∈ II (𝑣𝑏𝑌𝑣 ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6742, 46, 66mp2and 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) ∧ ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚))) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)))
6867ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑎 ∈ II ∧ 𝑏 ∈ II)) → (((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
6968rexlimdvva 3176 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (∃𝑎 ∈ II ∃𝑏 ∈ II ((𝑋𝑎𝑌𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ⊆ (𝐺𝑚)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))))
7037, 69mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)))
71 simp3l1 1363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → 𝑋𝑢)
72 simp3l2 1364 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → 𝑌𝑣)
73 cvmlift2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = 𝐶
74 simpl1l 1279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝜑)
7574, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
7674, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
77 cvmlift2.p . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃𝐵)
7874, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑃𝐵)
79 cvmlift2.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
8074, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
81 cvmlift2.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
82 cvmlift2.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
83 df-ov 6817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝐺𝑌) = (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
84 simpl1r 1281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚)))
8584simpld 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚)
8683, 85syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝑋𝐺𝑌) ∈ 𝑚)
8784simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝑚))
88 simpl2l 1283 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑢 ∈ II)
89 simpl2r 1285 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑣 ∈ II)
90 simp3rl 1313 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (II ↾t 𝑢) ∈ SConn)
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (II ↾t 𝑢) ∈ SConn)
92 sconnpconn 31537 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn → (II ↾t 𝑢) ∈ PConn)
93 pconnconn 31541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ↾t 𝑢) ∈ PConn → (II ↾t 𝑢) ∈ Conn)
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (II ↾t 𝑢) ∈ Conn)
95 simp3rr 1314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)
97 sconnpconn 31537 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ↾t 𝑣) ∈ SConn → (II ↾t 𝑣) ∈ PConn)
98 pconnconn 31541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((II ↾t 𝑣) ∈ PConn → (II ↾t 𝑣) ∈ Conn)
9996, 97, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (II ↾t 𝑣) ∈ Conn)
10071adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑋𝑢)
10172adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑌𝑣)
102 simp3l3 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚))
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚))
104 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → 𝑤𝑣)
105 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))
106 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑡 (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑏) = (𝑏𝑡 (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑏)
10773, 75, 76, 78, 80, 81, 82, 13, 86, 87, 88, 89, 94, 99, 100, 101, 103, 104, 105, 106cvmlift2lem9 31621 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) ∧ (𝑤𝑣 ∧ (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶))) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))
108107rexlimdvaa 3170 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))
10971, 72, 1083jca 1123 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II) ∧ ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn))) → (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))))
1101093expia 1115 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) ∧ (𝑢 ∈ II ∧ 𝑣 ∈ II)) → (((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
111110reximdvva 3157 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → (∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II ((𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (𝑢 × 𝑣) ⊆ (𝐺𝑚)) ∧ ((II ↾t 𝑢) ∈ SConn ∧ (II ↾t 𝑣) ∈ SConn)) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
11270, 111mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚𝑡 ∈ (𝑆𝑚))) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))))
113112expr 644 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚) → (𝑡 ∈ (𝑆𝑚) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
114113exlimdv 2010 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑚) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
11516, 114syl5bi 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚) → ((𝑆𝑚) ≠ ∅ → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
116115expimpd 630 . . 3 (𝜑 → (((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚 ∧ (𝑆𝑚) ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
117116rexlimdvw 3172 . 2 (𝜑 → (∃𝑚𝐽 ((𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑚 ∧ (𝑆𝑚) ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶)))))
11815, 117mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ II ∃𝑣 ∈ II (𝑋𝑢𝑌𝑣 ∧ (∃𝑤𝑣 (𝐾 ↾ (𝑢 × {𝑤})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × {𝑤})) Cn 𝐶) → (𝐾 ↾ (𝑢 × 𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑢 × 𝑣)) Cn 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  cop 4327   cuni 4588  cmpt 4881   × cxp 5264  ccnv 5265  cres 5268  cima 5269  ccom 5270   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  crio 6774  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  0cc0 10148  1c1 10149  [,]cicc 12391  t crest 16303  Topctop 20920   Cn ccn 21250  Conncconn 21436  Locally clly 21489   ×t ctx 21585  Homeochmeo 21778  IIcii 22899  PConncpconn 31529  SConncsconn 31530   CovMap ccvm 31565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-ec 7915  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-cmp 21412  df-conn 21437  df-lly 21491  df-nlly 21492  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-ii 22901  df-htpy 22990  df-phtpy 22991  df-phtpc 23012  df-pconn 31531  df-sconn 31532  df-cvm 31566
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  31624
  Copyright terms: Public domain W3C validator