Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem1 31591
 Description: Lemma for cvmlift2 31605. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem1 (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑥,𝑦   𝑢,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem cvmlift2lem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biimp 205 . . . . . 6 (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
2 iitop 22884 . . . . . . . . . . 11 II ∈ Top
3 iiuni 22885 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) = II
43neii1 21112 . . . . . . . . . . 11 ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
52, 4mpan 708 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
65adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑢 ⊆ (0[,]1))
7 xpss1 5284 . . . . . . . . 9 (𝑢 ⊆ (0[,]1) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ ((0[,]1) × {𝑥}))
9 simpl 474 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
108, 9sstrd 3754 . . . . . . 7 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀)
11 ssnei 21116 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ Top ∧ 𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
122, 11mpan 708 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦}) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
1312adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → {𝑦} ⊆ 𝑢)
14 vex 3343 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
1514snss 4460 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑢 ↔ {𝑦} ⊆ 𝑢)
1613, 15sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → 𝑦𝑢)
17 vsnid 4354 . . . . . . . . 9 𝑡 ∈ {𝑡}
18 opelxpi 5305 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑢𝑡 ∈ {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
1916, 17, 18sylancl 697 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}))
20 ssel 3738 . . . . . . . 8 ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → (⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ (𝑢 × {𝑡}) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2119, 20syl5com 31 . . . . . . 7 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → ((𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀 → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2210, 21embantd 59 . . . . . 6 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
231, 22syl5 34 . . . . 5 ((((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})) → (((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2423rexlimdva 3169 . . . 4 (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2524ralimdv 3101 . . 3 (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
2625com12 32 . 2 (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
27 dfss3 3733 . . 3 (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧𝑀)
28 eleq1 2827 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑦, 𝑢⟩ → (𝑧𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀))
2928ralxp 5419 . . 3 (∀𝑧 ∈ ((0[,]1) × {𝑡})𝑧𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀)
30 vex 3343 . . . . 5 𝑡 ∈ V
31 opeq2 4554 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑡 → ⟨𝑦, 𝑢⟩ = ⟨𝑦, 𝑡⟩)
3231eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑢 = 𝑡 → (⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀))
3330, 32ralsn 4366 . . . 4 (∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
3433ralbii 3118 . . 3 (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑢 ∈ {𝑡}⟨𝑦, 𝑢⟩ ∈ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
3527, 29, 343bitri 286 . 2 (((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ 𝑀)
3626, 35syl6ibr 242 1 (∀𝑦 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑦})((𝑢 × {𝑥}) ⊆ 𝑀 ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ 𝑀) → (((0[,]1) × {𝑥}) ⊆ 𝑀 → ((0[,]1) × {𝑡}) ⊆ 𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  {csn 4321  ⟨cop 4327   × cxp 5264  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129  [,]cicc 12371  Topctop 20900  neicnei 21103  IIcii 22879 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-icc 12375  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-nei 21104  df-ii 22881 This theorem is referenced by:  cvmlift2lem12  31603
 Copyright terms: Public domain W3C validator