Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlatexch3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlatexch3 35128
Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 29-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlatexch.l = (le‘𝐾)
cvlatexch.j = (join‘𝐾)
cvlatexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlatexch3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) → (𝑃 (𝑄 𝑅) → (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑅)))

Proof of Theorem cvlatexch3
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) → 𝐾 ∈ CvLat)
2 simp21 1249 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) → 𝑃𝐴)
3 simp23 1251 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) → 𝑅𝐴)
4 simp22 1250 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) → 𝑄𝐴)
5 simp3l 1244 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) → 𝑃𝑄)
6 cvlatexch.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
7 cvlatexch.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 cvlatexch.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8cvlatexchb1 35124 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅)))
101, 2, 3, 4, 5, 9syl131anc 1490 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅)))
1110biimpa 502 . . 3 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅))
12 simpl1 1228 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ CvLat)
13 cvllat 35116 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
1412, 13syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
15 simpl21 1321 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐴)
16 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1716, 8atbase 35079 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1815, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
19 simpl22 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
2016, 8atbase 35079 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2119, 20syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2216, 7latjcom 17260 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
2314, 18, 21, 22syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
246, 7, 8cvlatexchb2 35125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))
25243adant3l 1194 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))
2625biimpa 502 . . 3 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))
2711, 23, 263eqtr4d 2804 . 2 (((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑅))
2827ex 449 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑃𝑅)) → (𝑃 (𝑄 𝑅) → (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  joincjn 17145  Latclat 17246  Atomscatm 35053  CvLatclc 35055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-lat 17247  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112
This theorem is referenced by:  cdleme21ct  36119
  Copyright terms: Public domain W3C validator