Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrsizeinds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrsizeinds 26558
 Description: Part 1 of induction step in cusgrsize 26560. The size of a complete simple graph with 𝑛 vertices is (𝑛 − 1) plus the size of the complete graph reduced by one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrsizeindb0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
Assertion
Ref Expression
cusgrsizeinds ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsizeinds
StepHypRef Expression
1 cusgrusgr 26525 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2 cusgrsizeindb0.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32isfusgr 26409 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
4 fusgrfis 26421 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
53, 4sylbir 225 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
65a1d 25 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑁𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin))
76ex 449 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)))
81, 7syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)))
983imp 1102 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
10 eqid 2760 . . . . . . 7 {𝑒𝐸𝑁𝑒} = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
11 cusgrsizeinds.f . . . . . . 7 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
1210, 11elnelun 4107 . . . . . 6 ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹) = 𝐸
1312eqcomi 2769 . . . . 5 𝐸 = ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)
1413fveq2i 6355 . . . 4 (♯‘𝐸) = (♯‘({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹))
1514a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘𝐸) = (♯‘({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)))
16 cusgrsizeindb0.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1716eqcomi 2769 . . . . . . 7 (Edg‘𝐺) = 𝐸
1817eleq1i 2830 . . . . . 6 ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin)
19 rabfi 8350 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Fin → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin)
2018, 19sylbi 207 . . . . 5 ((Edg‘𝐺) ∈ Fin → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin)
2120adantl 473 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin)
221anim1i 593 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
2322, 3sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
242, 16, 11usgrfilem 26418 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
2523, 24stoic3 1850 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
2618, 25syl5bb 272 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
2726biimpa 502 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
2810, 11elneldisj 4106 . . . . 5 ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∩ 𝐹) = ∅
2928a1i 11 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∩ 𝐹) = ∅)
30 hashun 13363 . . . 4 (({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin ∧ ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∩ 𝐹) = ∅) → (♯‘({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) + (♯‘𝐹)))
3121, 27, 29, 30syl3anc 1477 . . 3 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) + (♯‘𝐹)))
322, 16cusgrsizeindslem 26557 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) = ((♯‘𝑉) − 1))
3332adantr 472 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) = ((♯‘𝑉) − 1))
3433oveq1d 6828 . . 3 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) + (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
3515, 31, 343eqtrd 2798 . 2 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
369, 35mpdan 705 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∉ wnel 3035  {crab 3054   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714  ∅c0 4058  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  1c1 10129   + caddc 10131   − cmin 10458  ♯chash 13311  Vtxcvtx 26073  Edgcedg 26138  USGraphcusgr 26243  FinUSGraphcfusgr 26407  ComplUSGraphccusgr 26515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-hash 13312  df-vtx 26075  df-iedg 26076  df-edg 26139  df-uhgr 26152  df-upgr 26176  df-umgr 26177  df-uspgr 26244  df-usgr 26245  df-fusgr 26408  df-nbgr 26424  df-uvtx 26486  df-cplgr 26516  df-cusgr 26517 This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  26559
 Copyright terms: Public domain W3C validator