MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrfilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrfilem1 26586
Description: Lemma 1 for cusgrfi 26589. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
Assertion
Ref Expression
cusgrfilem1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑎)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem cusgrfilem1
StepHypRef Expression
1 cusgrfi.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2771 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2cusgredg 26555 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑎, 𝑁} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑎, 𝑁}))
54ad2antlr 706 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) ∧ (𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))) → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑎, 𝑁}))
6 hashprg 13384 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑉𝑁𝑉) → (𝑎𝑁 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
76adantrr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)) → (𝑎𝑁 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
87biimpcd 239 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑁 → ((𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)) → (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
98adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) → ((𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)) → (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
109imp 393 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) ∧ (𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))) → (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2)
115, 10eqtrd 2805 . . . . . . 7 (((𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) ∧ (𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))) → (♯‘𝑥) = 2)
1211an13s 630 . . . . . 6 (((𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ (𝑎𝑉 ∧ (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}))) → (♯‘𝑥) = 2)
1312rexlimdvaa 3180 . . . . 5 ((𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉) → (∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) → (♯‘𝑥) = 2))
1413ss2rabdv 3832 . . . 4 (𝑁𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
15 cusgrfi.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
1615a1i 11 . . . . 5 ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})})
17 id 22 . . . . 5 ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
1816, 17sseq12d 3783 . . . 4 ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
1914, 18syl5ibr 236 . . 3 ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝑁𝑉𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺)))
203, 19syl 17 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑁𝑉𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺)))
2120imp 393 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  {crab 3065  wss 3723  𝒫 cpw 4297  {cpr 4318  cfv 6031  2c2 11272  chash 13321  Vtxcvtx 26095  Edgcedg 26160  ComplUSGraphccusgr 26540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-hash 13322  df-edg 26161  df-upgr 26198  df-umgr 26199  df-usgr 26268  df-nbgr 26448  df-uvtx 26511  df-cplgr 26541  df-cusgr 26542
This theorem is referenced by:  cusgrfi  26589
  Copyright terms: Public domain W3C validator