Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrexilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrexilem2 26573
 Description: Lemma 2 for cusgrexi 26574. (Contributed by AV, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrexi.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
Assertion
Ref Expression
cusgrexilem2 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑃   𝑥,𝑊   𝑃,𝑒,𝑛,𝑣,𝑥   𝑒,𝑉,𝑛,𝑣   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣

Proof of Theorem cusgrexilem2
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
2 eldifi 3883 . . . 4 (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑛𝑉)
3 prelpwi 5043 . . . 4 ((𝑣𝑉𝑛𝑉) → {𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉)
41, 2, 3syl2an 583 . . 3 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉)
5 eldifsni 4457 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑛𝑣)
65necomd 2998 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑣𝑛)
76adantl 467 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → 𝑣𝑛)
8 hashprg 13384 . . . . 5 ((𝑣𝑉𝑛𝑉) → (𝑣𝑛 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
91, 2, 8syl2an 583 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑣𝑛 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
107, 9mpbid 222 . . 3 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2)
11 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑥 = {𝑣, 𝑛} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑣, 𝑛}))
1211eqeq1d 2773 . . . 4 (𝑥 = {𝑣, 𝑛} → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
13 rnresi 5620 . . . . 5 ran ( I ↾ 𝑃) = 𝑃
14 usgrexi.p . . . . 5 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
1513, 14eqtri 2793 . . . 4 ran ( I ↾ 𝑃) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
1612, 15elrab2 3518 . . 3 ({𝑣, 𝑛} ∈ ran ( I ↾ 𝑃) ↔ ({𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
174, 10, 16sylanbrc 572 . 2 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ∈ ran ( I ↾ 𝑃))
18 sseq2 3776 . . 3 (𝑒 = {𝑣, 𝑛} → ({𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛}))
1918adantl 467 . 2 ((((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛}) → ({𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛}))
20 ssid 3773 . . 3 {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛}
2120a1i 11 . 2 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛})
2217, 19, 21rspcedvd 3467 1 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∃wrex 3062  {crab 3065   ∖ cdif 3720   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  {cpr 4318   I cid 5156  ran crn 5250   ↾ cres 5251  ‘cfv 6031  2c2 11272  ♯chash 13321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-hash 13322 This theorem is referenced by:  cusgrexi  26574  structtocusgr  26577
 Copyright terms: Public domain W3C validator