MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cubic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cubic 24797
Description: The cubic equation, which gives the roots of an arbitrary (nondegenerate) cubic function. Use rextp 4386 to convert the existential quantifier to a triple disjunction. This is Metamath 100 proof #37. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cubic.r 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
cubic.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
cubic.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
cubic.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
cubic.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
cubic.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
cubic.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
cubic.t (𝜑𝑇 = (((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
cubic.g (𝜑𝐺 = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))))
cubic.m (𝜑𝑀 = ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))))
cubic.n (𝜑𝑁 = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))))
cubic.0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
cubic (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟𝑅 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝜑,𝑟   𝑇,𝑟   𝑋,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝐺(𝑟)

Proof of Theorem cubic
StepHypRef Expression
1 cubic.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cubic.z . . 3 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 cubic.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 cubic.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 cubic.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
6 cubic.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
7 cubic.t . . . 4 (𝜑𝑇 = (((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
8 cubic.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))))
9 2cn 11304 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
10 3nn0 11523 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℕ0
11 expcl 13093 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
123, 10, 11sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
13 mulcl 10233 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐵↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
149, 12, 13sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
15 9cn 11321 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
16 mulcl 10233 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (9 · 𝐴) ∈ ℂ)
1715, 1, 16sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (9 · 𝐴) ∈ ℂ)
183, 4mulcld 10273 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
1917, 18mulcld 10273 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
2014, 19subcld 10605 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
21 2nn0 11522 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
22 7nn 11403 . . . . . . . . . . . 12 7 ∈ ℕ
2321, 22decnncl 11731 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℕ
2423nncni 11243 . . . . . . . . . 10 27 ∈ ℂ
251sqcld 13221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
2625, 5mulcld 10273 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐷) ∈ ℂ)
27 mulcl 10233 . . . . . . . . . 10 ((27 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐷) ∈ ℂ) → (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
2824, 26, 27sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
2920, 28addcld 10272 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))) ∈ ℂ)
308, 29eqeltrd 2840 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
31 cubic.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))))
3230sqcld 13221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
33 4cn 11311 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
34 cubic.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 = ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))))
353sqcld 13221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36 3cn 11308 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℂ
371, 4mulcld 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
38 mulcl 10233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
3936, 37, 38sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
4035, 39subcld 10605 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
4134, 40eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
42 expcl 13093 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
4341, 10, 42sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
44 mulcl 10233 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → (4 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
4533, 43, 44sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
4632, 45subcld 10605 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
4731, 46eqeltrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
4847sqrtcld 14396 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘𝐺) ∈ ℂ)
4930, 48addcld 10272 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + (√‘𝐺)) ∈ ℂ)
5049halfcld 11490 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2) ∈ ℂ)
51 3ne0 11328 . . . . . 6 3 ≠ 0
5236, 51reccli 10968 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
53 cxpcl 24641 . . . . 5 ((((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
5450, 52, 53sylancl 697 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
557, 54eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
567oveq1d 6830 . . . 4 (𝜑 → (𝑇↑3) = ((((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3))↑3))
57 3nn 11399 . . . . 5 3 ∈ ℕ
58 cxproot 24657 . . . . 5 ((((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3))↑3) = ((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2))
5950, 57, 58sylancl 697 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3))↑3) = ((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2))
6056, 59eqtrd 2795 . . 3 (𝜑 → (𝑇↑3) = ((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2))
6147sqsqrtd 14398 . . . 4 (𝜑 → ((√‘𝐺)↑2) = 𝐺)
6261, 31eqtrd 2795 . . 3 (𝜑 → ((√‘𝐺)↑2) = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))))
639a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
6433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
65 4ne0 11330 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
6665a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ≠ 0)
67 cubic.0 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≠ 0)
68 3z 11623 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
7041, 67, 69expne0d 13229 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀↑3) ≠ 0)
7164, 43, 66, 70mulne0d 10892 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · (𝑀↑3)) ≠ 0)
7262oveq2d 6831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) − ((√‘𝐺)↑2)) = ((𝑁↑2) − ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3)))))
73 subsq 13187 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (√‘𝐺) ∈ ℂ) → ((𝑁↑2) − ((√‘𝐺)↑2)) = ((𝑁 + (√‘𝐺)) · (𝑁 − (√‘𝐺))))
7430, 48, 73syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) − ((√‘𝐺)↑2)) = ((𝑁 + (√‘𝐺)) · (𝑁 − (√‘𝐺))))
7532, 45nncand 10610 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) − ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3)))) = (4 · (𝑀↑3)))
7672, 74, 753eqtr3d 2803 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (√‘𝐺)) · (𝑁 − (√‘𝐺))) = (4 · (𝑀↑3)))
7730, 48subcld 10605 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − (√‘𝐺)) ∈ ℂ)
7877mul02d 10447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 · (𝑁 − (√‘𝐺))) = 0)
7971, 76, 783netr4d 3010 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + (√‘𝐺)) · (𝑁 − (√‘𝐺))) ≠ (0 · (𝑁 − (√‘𝐺))))
80 oveq1 6822 . . . . . . . 8 ((𝑁 + (√‘𝐺)) = 0 → ((𝑁 + (√‘𝐺)) · (𝑁 − (√‘𝐺))) = (0 · (𝑁 − (√‘𝐺))))
8180necon3i 2965 . . . . . . 7 (((𝑁 + (√‘𝐺)) · (𝑁 − (√‘𝐺))) ≠ (0 · (𝑁 − (√‘𝐺))) → (𝑁 + (√‘𝐺)) ≠ 0)
8279, 81syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + (√‘𝐺)) ≠ 0)
83 2ne0 11326 . . . . . . 7 2 ≠ 0
8483a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
8549, 63, 82, 84divne0d 11030 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2) ≠ 0)
8652a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℂ)
8750, 85, 86cxpne0d 24680 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 + (√‘𝐺)) / 2)↑𝑐(1 / 3)) ≠ 0)
887, 87eqnetrd 3000 . . 3 (𝜑𝑇 ≠ 0)
891, 2, 3, 4, 5, 6, 55, 60, 48, 62, 34, 8, 88cubic2 24796 . 2 (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
90 cubic.r . . . . . 6 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
91901cubr 24790 . . . . 5 (𝑟𝑅 ↔ (𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑟↑3) = 1))
9291anbi1i 733 . . . 4 ((𝑟𝑅𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))) ↔ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑟↑3) = 1) ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
93 anass 684 . . . 4 (((𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑟↑3) = 1) ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))) ↔ (𝑟 ∈ ℂ ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
9492, 93bitri 264 . . 3 ((𝑟𝑅𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))) ↔ (𝑟 ∈ ℂ ∧ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
9594rexbii2 3178 . 2 (∃𝑟𝑅 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
9689, 95syl6bbr 278 1 (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟𝑅 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wrex 3052  {ctp 4326  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  0cc0 10149  1c1 10150  ici 10151   + caddc 10152   · cmul 10154  cmin 10479  -cneg 10480   / cdiv 10897  cn 11233  2c2 11283  3c3 11284  4c4 11285  7c7 11288  9c9 11290  0cn0 11505  cz 11590  cdc 11706  cexp 13075  csqrt 14193  𝑐ccxp 24523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-bc 13305  df-hash 13333  df-shft 14027  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-dvds 15204  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-perf 21164  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-cncf 22903  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-cxp 24525
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator