Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ctbnfien Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ctbnfien 37908
Description: An infinite subset of a countable set is countable, without using choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ctbnfien (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴𝑌)

Proof of Theorem ctbnfien
StepHypRef Expression
1 isfinite 8717 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
21notbii 309 . . . 4 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
3 relen 8118 . . . . . . . . . . 11 Rel ≈
43brrelexi 5297 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≈ ω → 𝑋 ∈ V)
5 ssdomg 8159 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ V → (𝐴𝑋𝐴𝑋))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≈ ω → (𝐴𝑋𝐴𝑋))
7 domen2 8263 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≈ ω → (𝐴𝑋𝐴 ≼ ω))
86, 7sylibd 229 . . . . . . . 8 (𝑋 ≈ ω → (𝐴𝑋𝐴 ≼ ω))
98imp 393 . . . . . . 7 ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ≼ ω)
10 brdom2 8143 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ ω ↔ (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
119, 10sylib 208 . . . . . 6 ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
1211adantlr 694 . . . . 5 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
1312ord 853 . . . 4 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴𝑋) → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ ω))
142, 13syl5bi 232 . . 3 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴𝑋) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ ω))
1514impr 442 . 2 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ ω)
16 enen2 8261 . . 3 (𝑌 ≈ ω → (𝐴𝑌𝐴 ≈ ω))
1716ad2antlr 706 . 2 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → (𝐴𝑌𝐴 ≈ ω))
1815, 17mpbird 247 1 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723   class class class wbr 4787  ωcom 7216  cen 8110  cdom 8111  csdm 8112  Fincfn 8113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117
This theorem is referenced by:  fiphp3d  37909  irrapx1  37918
  Copyright terms: Public domain W3C validator