Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssmre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cssmre 20239
 Description: The closed subspaces of a pre-Hilbert space are a Moore system. Unlike many of our other examples of closure systems, this one is not usually an algebraic closure system df-acs 16451: consider the Hilbert space of sequences ℕ⟶ℝ with convergent sum; the subspace of all sequences with finite support is the classic example of a non-closed subspace, but for every finite set of sequences of finite support, there is a finite-dimensional (and hence closed) subspace containing all of the sequences, so if closed subspaces were an algebraic closure system this would violate acsfiel 16516. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssmre.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssmre.c 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cssmre (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))

Proof of Theorem cssmre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cssmre.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 cssmre.c . . . . . 6 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
31, 2cssss 20231 . . . . 5 (𝑥𝐶𝑥𝑉)
4 selpw 4309 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉𝑥𝑉)
53, 4sylibr 224 . . . 4 (𝑥𝐶𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
65a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥𝐶𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))
76ssrdv 3750 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
81, 2css1 20236 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑉𝐶)
9 intss1 4644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑥 𝑥𝑧)
10 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
1110ocv2ss 20219 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑥𝑧 → ((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘ 𝑥))
1210ocv2ss 20219 . . . . . . . . . . . 12 (((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘ 𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
139, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
1413ad2antll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
15 simprl 811 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)))
1614, 15sseldd 3745 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
17 simpl2 1230 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥𝐶)
18 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
1917, 18sseldd 3745 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝐶)
2010, 2cssi 20230 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐶𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
2216, 21eleqtrrd 2842 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑦𝑧)
2322expr 644 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥))) → (𝑧𝑥𝑦𝑧))
2423alrimiv 2004 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥))) → ∀𝑧(𝑧𝑥𝑦𝑧))
25 vex 3343 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
2625elint 4633 . . . . . 6 (𝑦 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧𝑥𝑦𝑧))
2724, 26sylibr 224 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥))) → 𝑦 𝑥)
2827ex 449 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) → 𝑦 𝑥))
2928ssrdv 3750 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ 𝑥)
30 simp1 1131 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ PreHil)
31 intssuni 4651 . . . . . 6 (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 𝑥)
32313ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 𝑥)
33 simp2 1132 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝐶)
3473ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
3533, 34sstrd 3754 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉)
36 sspwuni 4763 . . . . . 6 (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉 𝑥𝑉)
3735, 36sylib 208 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝑉)
3832, 37sstrd 3754 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝑉)
391, 2, 10iscss2 20232 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝑉) → ( 𝑥𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ 𝑥))
4030, 38, 39syl2anc 696 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → ( 𝑥𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘ 𝑥)) ⊆ 𝑥))
4129, 40mpbird 247 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝐶)
427, 8, 41ismred 16464 1 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072  ∀wal 1630   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  ∪ cuni 4588  ∩ cint 4627  ‘cfv 6049  Basecbs 16059  Moorecmre 16444  PreHilcphl 20171  ocvcocv 20206  CSubSpccss 20207 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-0g 16304  df-mre 16448  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-ghm 17859  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-rnghom 18917  df-staf 19047  df-srng 19048  df-lmod 19067  df-lmhm 19224  df-lvec 19305  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-phl 20173  df-ocv 20209  df-css 20210 This theorem is referenced by:  mrccss  20240
 Copyright terms: Public domain W3C validator