Theorem csslss 20252

Description: A closed subspace of a pre-Hilbert space is a linear subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
csslss.c	⊢ 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
csslss.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
csslss	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝐿)

Proof of Theorem csslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2		csslss.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssi 20245	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4	3	adantl 467	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
5		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 1	ocvss 20231	. . . 4 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊))
8		csslss.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
9	5, 1, 8	ocvlss 20233	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ∈ 𝐿)
10	7, 9	sylan2 580	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) ∈ 𝐿)
11	4, 10	eqeltrd 2850	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  ‘cfv 6031  Basecbs 16064  LSubSpclss 19142  PreHilcphl 20186  ocvcocv 20221  CSubSpccss 20222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-ghm 17866  df-mgp 18698  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lmhm 19235  df-lvec 19316  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-phl 20188  df-ocv 20224  df-css 20225

This theorem is referenced by:  ocvpj  20278  ishil2  20280  cldcss  23431