Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csscld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem csscld 23240
 Description: A "closed subspace" in a subcomplex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
csscld.c 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
csscld.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
csscld ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem csscld
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2752 . . . . 5 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2 csscld.c . . . . 5 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
31, 2cssi 20222 . . . 4 (𝑆𝐶𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
43adantl 473 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
5 eqid 2752 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
65, 1ocvss 20208 . . . . 5 ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)
7 eqid 2752 . . . . . 6 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
8 eqid 2752 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9 eqid 2752 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
105, 7, 8, 9, 1ocvval 20205 . . . . 5 (((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
116, 10mp1i 13 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
12 riinrab 4740 . . . 4 ((Base‘𝑊) ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
1311, 12syl6eqr 2804 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
14 cphnlm 23164 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
1514adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑊 ∈ NrmMod)
16 nlmngp 22674 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
17 ngptps 22599 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑊 ∈ TopSp)
19 csscld.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
205, 19istps 20932 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
2118, 20sylib 208 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
22 toponuni 20913 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → (Base‘𝑊) = 𝐽)
2423ineq1d 3948 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ((Base‘𝑊) ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = ( 𝐽 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
254, 13, 243eqtrd 2790 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 = ( 𝐽 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
26 topontop 20912 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ Top)
2721, 26syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
286sseli 3732 . . . . 5 (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
29 fvex 6354 . . . . . . 7 (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
30 eqid 2752 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦))
3130mptiniseg 5782 . . . . . . 7 ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3229, 31ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
33 eqid 2752 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
34 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
3521adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
3635cnmptid 21658 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
3835, 35, 37cnmptc 21659 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3919, 33, 7, 34, 35, 36, 38cnmpt1ip 23238 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4033cnfldhaus 22781 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
41 cphclm 23181 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
428clm0 23064 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4443ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
45 0cn 10216 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
4644, 45syl6eqelr 2840 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
4733cnfldtopon 22779 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4847toponunii 20915 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4948sncld 21369 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
5040, 46, 49sylancr 698 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
51 cnclima 21266 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
5239, 50, 51syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
5332, 52syl5eqelr 2836 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
5428, 53sylan2 492 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
5554ralrimiva 3096 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
56 eqid 2752 . . . 4 𝐽 = 𝐽
5756riincld 21042 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → ( 𝐽 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
5827, 55, 57syl2anc 696 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ( 𝐽 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
5925, 58eqeltrd 2831 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  {crab 3046  Vcvv 3332   ∩ cin 3706   ⊆ wss 3707  {csn 4313  ∪ cuni 4580  ∩ ciin 4665   ↦ cmpt 4873  ◡ccnv 5257   “ cima 5261  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℂcc 10118  0cc0 10120  Basecbs 16051  Scalarcsca 16138  ·𝑖cip 16140  TopOpenctopn 16276  0gc0g 16294  ℂfldccnfld 19940  ocvcocv 20198  CSubSpccss 20199  Topctop 20892  TopOnctopon 20909  TopSpctps 20930  Clsdccld 21014   Cn ccn 21222  Hauscha 21306  NrmGrpcngp 22575  NrmModcnlm 22578  ℂModcclm 23054  ℂPreHilccph 23158 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-mhm 17528  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-ghm 17851  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-dvr 18875  df-rnghom 18909  df-drng 18943  df-subrg 18972  df-staf 19039  df-srng 19040  df-lmod 19059  df-lmhm 19216  df-lvec 19297  df-sra 19366  df-rgmod 19367  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-cnfld 19941  df-phl 20165  df-ipf 20166  df-ocv 20201  df-css 20202  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-t1 21312  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-nm 22580  df-ngp 22581  df-tng 22582  df-nlm 22584  df-clm 23055  df-cph 23160  df-tch 23161 This theorem is referenced by:  cldcss  23404
 Copyright terms: Public domain W3C validator