Theorem css1 20207

Description: The whole space is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
css1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
css1.c	⊢ 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
css1	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑉 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem css1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		css1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2748	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocv0 20194	. 2 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘∅) = 𝑉
4		0ss 4103	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑉
5		css1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
6	1, 5, 2	ocvcss 20204	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ∅ ⊆ 𝑉) → ((ocv‘𝑊)‘∅) ∈ 𝐶)
7	4, 6	mpan2 709	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘∅) ∈ 𝐶)
8	3, 7	syl5eqelr 2832	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑉 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ⊆ wss 3703  ∅c0 4046  ‘cfv 6037  Basecbs 16030  PreHilcphl 20142  ocvcocv 20177  CSubSpccss 20178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-grp 17597  df-ghm 17830  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-oppr 18794  df-rnghom 18888  df-staf 19018  df-srng 19019  df-lmod 19038  df-lmhm 19195  df-lvec 19276  df-sra 19345  df-rgmod 19346  df-phl 20144  df-ocv 20180  df-css 20181

This theorem is referenced by:  cssmre  20210