Theorem cshwshash 15858

Description: If a word has a length being a prime number, the size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting the original word equals the length of the original word or 1. (Contributed by AV, 19-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwrepswhash1.m	⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}

Assertion

Ref	Expression
cshwshash	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) → ((#‘𝑀) = (#‘𝑊) ∨ (#‘𝑀) = 1))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem cshwshash

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repswsymballbi 13573	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
3		prmnn 15435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℙ → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
4	3	nnge1d 11101	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℙ → 1 ≤ (#‘𝑊))
5		wrdsymb1 13375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
6	4, 5	sylan2 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
8	3	ad2antlr 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
9		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊))) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)))
10		cshwrepswhash1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
11	10	cshwrepswhash1 15856	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊))) → (#‘𝑀) = 1)
12	7, 8, 9, 11	syl3anc 1366	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊))) → (#‘𝑀) = 1)
13	12	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (#‘𝑊)) → (#‘𝑀) = 1))
14	2, 13	sylbird 250	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) → (#‘𝑀) = 1))
15		olc 398	. . 3 ⊢ ((#‘𝑀) = 1 → ((#‘𝑀) = (#‘𝑊) ∨ (#‘𝑀) = 1))
16	14, 15	syl6com 37	. 2 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) → ((#‘𝑀) = (#‘𝑊) ∨ (#‘𝑀) = 1)))
17		rexnal 3024	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ¬ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
18		df-ne 2824	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) ↔ ¬ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
19	18	bicomi 214	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ (𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
20	19	rexbii 3070	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ¬ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
21	17, 20	bitr3i 266	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
22	10	cshwshashnsame 15857	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) → (#‘𝑀) = (#‘𝑊)))
23		orc 399	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑀) = (#‘𝑊) → ((#‘𝑀) = (#‘𝑊) ∨ (#‘𝑀) = 1))
24	22, 23	syl6com 37	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) → ((#‘𝑀) = (#‘𝑊) ∨ (#‘𝑀) = 1)))
25	21, 24	sylbi 207	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) → ((#‘𝑀) = (#‘𝑊) ∨ (#‘𝑀) = 1)))
26	16, 25	pm2.61i 176	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ) → ((#‘𝑀) = (#‘𝑊) ∨ (#‘𝑀) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   ≤ cle 10113  ℕcn 11058  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   repeatS creps 13330   cyclShift ccsh 13580  ℙcprime 15432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-substr 13335  df-reps 13338  df-csh 13581  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518

This theorem is referenced by:  hashecclwwlkn1  27041