MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwsdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwsdisj 15852
Description: The singletons resulting by cyclically shifting a given word of length being a prime number and not consisting of identical symbols is a disjoint collection. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwshash.0 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ))
Assertion
Ref Expression
cshwsdisj ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
Distinct variable groups:   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem cshwsdisj
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 399 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
21a1d 25 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)))
3 simprl 809 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊))))) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)))
4 simprrl 821 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊))))) → 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
5 simprrr 822 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊))))) → 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
6 necom 2876 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑗𝑗𝑛)
76biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑗𝑗𝑛)
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊))))) → 𝑗𝑛)
9 cshwshash.0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ))
109cshwshashlem3 15851 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗𝑛) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗)))
1110imp 444 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗𝑛)) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗))
123, 4, 5, 8, 11syl13anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊))))) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗))
13 disjsn2 4279 . . . . . . 7 ((𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗) → ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊))))) → ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)
1514olcd 407 . . . . 5 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊))))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
1615ex 449 . . . 4 (𝑛𝑗 → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)))
172, 16pm2.61ine 2906 . . 3 (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
1817ralrimivva 3000 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ∀𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊))∀𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
19 oveq2 6698 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (𝑊 cyclShift 𝑛) = (𝑊 cyclShift 𝑗))
2019sneqd 4222 . . 3 (𝑛 = 𝑗 → {(𝑊 cyclShift 𝑛)} = {(𝑊 cyclShift 𝑗)})
2120disjor 4666 . 2 (Disj 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)} ↔ ∀𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊))∀𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
2218, 21sylibr 224 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  c0 3948  {csn 4210  Disj wdisj 4652  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   cyclShift ccsh 13580  cprime 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-substr 13335  df-reps 13338  df-csh 13581  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518
This theorem is referenced by:  cshwshashnsame  15857
  Copyright terms: Public domain W3C validator