Theorem cshwn 13714

Description: A word cyclically shifted by its length is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwn	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem cshwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 13710	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift (♯‘𝑊)) = ∅
2		oveq1 6808	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
4	1, 2, 3	3eqtr3a 2806	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
5	4	a1d 25	. 2 ⊢ (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊))
6		lencl 13481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 11643	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
8		cshwmodn 13712	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))))
9	7, 8	mpdan 705	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))))
10	9	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))))
11		necom 2973	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 ↔ 𝑊 ≠ ∅)
12		lennncl 13482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylan2b 493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
14	13	nnrpd 12034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
15	14	ancoms 468	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
16		modid0 12861	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊)) = 0)
18	17	oveq2d 6817	. . . 4 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift ((♯‘𝑊) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift 0))
19		cshw0 13711	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
20	19	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
21	10, 18, 20	3eqtrd 2786	. . 3 ⊢ ((∅ ≠ 𝑊 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)
22	21	ex 449	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊))
23	5, 22	pm2.61ine 3003	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (♯‘𝑊)) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  ∅c0 4046  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  0cc0 10099  ℕcn 11183  ℤcz 11540  ℝ⁺crp 11996   mod cmo 12833  ♯chash 13282  Word cword 13448   cyclShift ccsh 13705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-mod 12834  df-hash 13283  df-word 13456  df-concat 13458  df-substr 13460  df-csh 13706

This theorem is referenced by:  2cshwid  13731  cshweqdif2  13736  scshwfzeqfzo  13743  cshwcshid  13744  clwwisshclwwsn  27110  eucrct2eupth  27368