MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwlen 13754
Description: The length of a cyclically shifted word is the same as the length of the original word. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 27-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwlen ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem cshwlen
StepHypRef Expression
1 oveq1 6803 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (∅ cyclShift 𝑁))
2 0csh0 13748 . . . . . 6 (∅ cyclShift 𝑁) = ∅
32a1i 11 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
4 eqcom 2778 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ ↔ ∅ = 𝑊)
54biimpi 206 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → ∅ = 𝑊)
61, 3, 53eqtrd 2809 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = 𝑊)
76fveq2d 6337 . . 3 (𝑊 = ∅ → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
87a1d 25 . 2 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊)))
9 cshword 13746 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩)))
109fveq2d 6337 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))))
1110adantr 466 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))))
12 swrdcl 13627 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
13 swrdcl 13627 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩) ∈ Word 𝑉)
14 ccatlen 13557 . . . . . . 7 (((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩) ∈ Word 𝑉) → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))))
1512, 13, 14syl2anc 573 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))))
1615adantr 466 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))))
1716adantr 466 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))))
18 lennncl 13521 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
19 pm3.21 457 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))))
2019ex 397 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))))
2221ex 397 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))))))
2322com24 95 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))))))
2423pm2.43i 52 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))))
2524imp31 404 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
26 simpl 468 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27 pm3.22 447 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
2827adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
29 zmodfzp1 12902 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
31 lencl 13520 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
32 nn0fz0 12645 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3331, 32sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3433adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
35 swrdlen 13631 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
3626, 30, 34, 35syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
37 zmodcl 12898 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
3837ancoms 446 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
3938adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
40 0elfz 12644 . . . . . . . . 9 ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 0 ∈ (0...(𝑁 mod (♯‘𝑊))))
42 swrdlen 13631 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0...(𝑁 mod (♯‘𝑊))) ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩)) = ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) − 0))
4326, 41, 30, 42syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩)) = ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) − 0))
4436, 43oveq12d 6814 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) − 0)))
4537nn0cnd 11560 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
4645ancoms 446 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
4746adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
4847subid1d 10587 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) − 0) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
4948oveq2d 6812 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) − 0)) = (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
5031nn0cnd 11560 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
51 npcan 10496 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
5250, 46, 51syl2an 583 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((♯‘𝑊) − (𝑁 mod (♯‘𝑊))) + (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
5344, 49, 523eqtrd 2809 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))) = (♯‘𝑊))
5425, 53syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (♯‘𝑊))⟩))) = (♯‘𝑊))
5511, 17, 543eqtrd 2809 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
5655expcom 398 . 2 (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊)))
578, 56pm2.61ine 3026 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  c0 4063  cop 4323  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142   + caddc 10145  cmin 10472  cn 11226  0cn0 11499  cz 11584  ...cfz 12533   mod cmo 12876  chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489   substr csubstr 13491   cyclShift ccsh 13743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-substr 13499  df-csh 13744
This theorem is referenced by:  cshwf  13755  2cshw  13768  lswcshw  13770  cshwleneq  13772  crctcshlem2  26946  clwwisshclwwslem  27164  clwwisshclwws  27165  erclwwlkeqlen  27169  clwwnisshclwwsn  27217  erclwwlkneqlen  27226  eucrct2eupth  27425
  Copyright terms: Public domain W3C validator